2007-福建卷理-21 解-反证法

本题导读

本题考查等差数列基本量求解以及数列性质的逻辑证明。第一问通过基本量方程组求出首项和公差，直接写出通项与前 $n$ 项和；第二问证明任意不同三项不能成等比数列，采用反证法将问题转化为关于项数的不等式，利用 $\sqrt{2}$ 的疏失无理数特质进行分离归零，从而推导矛盾。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=1+\sqrt{2}$，$S_3=9+3\sqrt{2}$.

(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项 $a_n$ 与前 $n$ 项和 $S_n$；

(2) 设 $b_n=\frac{S_n}{n}\left(n\in {\mathbf{N}}^{\ast }\right)$，求证：数列 $\left\{b_n\right\}$ 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 设等差数列的公差为 $d$。由 $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3a_1+3d$，结合已知条件列出关于 $d$ 的方程，求出 $d=2$。
• 代入公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 和 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 即可。

2. 第二问：

• 先写出通项 $b_n=\frac{S_n}{n}=n+\sqrt{2}$。

• 采用反证法：假设存在三项不同的项 $b_p,b_q,b_r$ ($p,q,r\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且两两不相等) 顺次构成等比数列。

• 满足等比中项关系： $b_q^2=b_p\cdot b_r$。

• 将具体代数式代入并彻底展开，利用有理数与无理数 $\sqrt{2}$ 的独立性建立方程组，推导自相矛盾的数理结论。

✅【答案】

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（1）设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑.由等差数列的前3项和公式，𝑆3=3(𝑎1+𝑑)所以3(1+√2+𝑑)=9+3√2,

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$。 根据等差数列的前 $n$ 项和公式，有： $S_3=3a_1+\frac{3(3-1)}{2}d=3a_1+3d$

将已知 $a_1=1+\sqrt{2}$ 和 $S_3=9+3\sqrt{2}$ 代入上式中： $3(1+\sqrt{2})+3d=9+3\sqrt{2}$ $3+3\sqrt{2}+3d=9+3\sqrt{2}$ 两边同时消去 $3\sqrt{2}$ 并移项化简得： $3d=6⟹d=2$

所以，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+\sqrt{2}+2(n-1)=2n-1+\sqrt{2}$ 其前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=n\cdot a_1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot d=n(1+\sqrt{2})+\frac{n^2-n}{2}\times 2=n+\sqrt{2}n+n^2-n=n^2+\sqrt{2}n$

（2）证明：由（1）可知，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式为： $b_n=\frac{S_n}{n}=\frac{n^2+\sqrt{2}n}{n}=n+\sqrt{2}$

下面采用反证法展开严格证明： 假设数列 $\left\{b_n\right\}$ 中存在任意三个不同的项 $b_p,b_q,b_r$（其中 $p,q,r\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且两两互不相等），使其顺次能够构成等比数列。 根据等比中项的性质，必满足等式： $b_q^2=b_p\cdot b_r$

将通项代入该平方乘积方程中： $(q+\sqrt{2}{)}^2=(p+\sqrt{2})(r+\sqrt{2})$ 两边分别利用多项式乘法进行彻底展开： $q^2+2\sqrt{2}q+2=pr+\sqrt{2}(p+r)+2$ 两边消去常数 2 并移项整理，将含有无理数 $\sqrt{2}$ 的项合并到右侧，有理项留到左侧： $q^2-pr=\sqrt{2}(p+r-2q)\text{(1)}$

因为 $p,q,r$ 均为正整数，所以左端的 $q^2-pr$ 以及右端括号内的 $p+r-2q$ 必然也严格属于有理数（整数）。 而 $\sqrt{2}$ 是一个众所周知的不可约无理数。一个有理数等于无理数乘以另一个有理数，当且仅当右侧括号内的系数严格为 0 时方程才能在全域有理数内成立。 由此可得如下联立方程组： $\{\begin{array}{l}p+r-2q=0\text{(2)}\\ q^2-pr=0\text{(3)}\end{array}$

由②式可得： $q=\frac{p+r}{2}$ 将 $q$ 的表达式代入③式中消除变量 $q$： ${\left(\frac{p+r}{2}\right)}^2-pr=0⟹\frac{p^2+2pr+r^2}{4}-pr=0$ 两边同乘以 4 展开去分母： $p^2+2pr+r^2-4pr=0⟹p^2-2pr+r^2=0$ 利用完全平方公式进行因式分解： $(p-r{)}^2=0⟹p=r$

这说明项数 $p$ 必须严格等于 $r$。 然而这与我们一开始设立的反证法大前提条件——“ $b_p,b_q,b_r$ 是任意三个不同的项（即 $p\ne r$）”产生了刚性的数理冲突。

因此，最初的假设“能够构成等比数列”完全不成立。 即：数列 $\left\{b_n\right\}$ 中任意不同的三项都不可能成为等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本量基本功方程演练、有理数无理数混合等式的充要条件、反证法。
2. 核心方法：反证法、分离归零法。
3. 避坑指南：

• 第二问属于典型的“否定命题”证明题（不可能…），记住只要遇到“证明不可能/证明不存在”这类死胡同构型，不需犹豫直接无条件开启反证法。
• 展开①式后，必须明确指出“因为 $p,q,r$ 为正整数，故 $q^2-pr$ 与 $p+r-2q$ 为有理数，而 $\sqrt{2}$ 为无理数”，由此才能理直气壮地让右侧系数强行归零。这是逻辑大题扣分的细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查等差数列的通项公式与求和公式、无理数的独立性与有理化分离，是福建卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（方程组基本量法、反证法结合有理无理分离法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：等差数列的通项公式与求和公式、无理数的独立性与有理化分离相互关联，解答中综合运用了方程组基本量法、反证法结合有理无理分离法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷文-20 解-等差数列与绝对值求和
• 2014-山东卷文-19 解-等差与交错和
• 2014-湖北卷文-19 解-等差数列