2014-湖北卷文-19 解-等差数列

本题导读

(1) 等比中项条件解出 $d$ 的两解；(2) 两种通项分别检验 $S_n>60n+800$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，且 $a_1$，$a_2$，$a_5$ 成等比数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$，使得 $S_n>60n+800$？若存在，求出 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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$(2+d{)}^2=2(2+4d)$ 解出 $d=0$ 或 $d=4$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2$ 或 $a_n=4n-2$；(2) 存在，$n_{\min }=41$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设公差为 $d$，则 $a_2=2+d$，$a_5=2+4d$。由 $a_1,a_2,a_5$ 成等比数列得 $(2+d{)}^2=2(2+4d)$，即 $d^2-4d=0$，$d=0$ 或 $d=4$。故 $a_n=2$，或 $a_n=2+4(n-1)=4n-2$。 (2) 当 $d=0$ 时，$S_n=2n$，$2n>60n+800$ 不可能成立。当 $d=4$ 时，$S_n=\frac{n(2+4n-2)}{2}=2n^2$，由 $2n^2>60n+800$ 得 $n^2-30n-400>0$，即 $(n-40)(n+10)>0$，故 $n>40$，正整数 $n$ 的最小值为 $41$。综上：$a_n=2$ 时不存在；$a_n=4n-2$ 时存在，$n$ 的最小值为 $41$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列与等比中项

2. 核心方法：等比条件解公差、二次不等式定 $n$

3. 避坑指南：等比中项条件 $(2+d{)}^2=2(2+4d)$ 给出 $d=0$ 与 $d=4$ 两解，第 (2) 问必须对两个通项分别讨论；$d=0$ 时 $S_n=2n$ 是一次式，恒小于 $60n+800$，别漏掉这一分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列基本量与前 $n$ 项和不等式。

2. 结论推广: 等比中项：$b^2=ac$；本题 $(a_1+d{)}^2=a_1\cdot (a_1+4d)$。

3. 方法推广: 「是否存在 $n$ 使 $S_n>f(n)$」型问题，先写 $S_n$ 的显式表达式，再解二次不等式取最小整数解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关
• 2014-湖北卷理-18 解-通项公式与求和公式