2008-大纲卷II理-15 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线焦点弦的性质。解题核心在于将直线与抛物线方程联立求出交点，利用焦半径公式转化为关于坐标的表达式来计算两段线段的比值。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 已知 $F$ 是抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，过 $F$ 且斜率为 1 的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点. 设 $|FA|>|FB|$，则 $|FA|$ 与 $|FB|$ 的比值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由抛物线 $y^2=4x$ 确定焦点坐标 $F(1,0)$ 及参数 $p=2$。
2. 写出过焦点且斜率为 1 的直线方程 $y=x-1$，将其与抛物线方程联立。
3. 利用韦达定理或直接解方程求出交点横坐标 $x_1,x_2$，利用焦半径公式 $|PF|=x+\frac{p}{2}$ 写出 $|FA|$ 与 $|FB|$ 的长并作比化简。

✅【答案】

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$3+2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $C:y^2=4x$ 得 $2p=4\Rightarrow p=2$，焦点为 $F(1,0)$。 因为直线过点 $F$ 且斜率为 1，所以直线方程为 $y=1\times (x-1)\Rightarrow y=x-1$。 联立直线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y^2=4x\end{array}\Rightarrow (x-1{)}^2=4x\Rightarrow x^2-6x+1=0$ 解该一元二次方程得： $x=\frac{6\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\times 1\times 1}}{2}=\frac{6\pm 4\sqrt{2}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}$ 因为 $|FA|>|FB|$，由抛物线定义知焦半径 $|FA|=x_A+1,|FB|=x_B+1$，故 $x_A>x_B$。 所以： $x_A=3+2\sqrt{2},x_B=3-2\sqrt{2}$ 代入焦半径公式得： $|FA|=3+2\sqrt{2}+1=4+2\sqrt{2}$ $|FB|=3-2\sqrt{2}+1=4-2\sqrt{2}$ 计算两者的比值并进行分母有理化： $\frac{|FA|}{|FB|}=\frac{4+2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{2}{)}^2}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{4+4\sqrt{2}+2}{4-2}=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}=3+2\sqrt{2}$ 故答案为 $3+2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义（点到焦点的距离等于到准线的距离）、焦点弦的几何运算。
2. 核心方法：方程法求根、分母有理化代数化简。
3. 避坑指南：利用焦半径公式时，切勿漏掉加上 $\frac{p}{2}$；最后的无理分式作比必须进行有理化化简得到最简根式形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何中经典的焦点弦弦长性质问题，可由极坐标系下的焦半径公式 $r=\frac{p}{1-\cos \theta }$ 直接推导。
2. 结论推广：过开口向右的抛物线 $y^2=2px$ 焦点且倾斜角为 $\theta$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，两段焦半径的比值为 $\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }$（其中取较大比值）。本题 $\theta =45^{\circ }$，代入得 $\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=3+2\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-北京卷理-08 单-抛物线
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距