2007-辽宁卷理-15 填-球体积公式

本题导读

本题考查正六棱柱外接球体积的计算。核心在于通过正六棱柱的对称性确定球心位置（即几何体中心），利用底面正六边形外接圆半径和棱柱高度的一半构成直角三角形，运用勾股定理求出外接球半径 $R$。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 若一个底面边长为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$，侧棱长为 $\sqrt{6}$ 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定球心与外接半径模型：

• 正六棱柱具有高度的轴对称性，其外接球的球心 $O$ 必定落在连接上下底面中心连线的中点（即正六棱柱的几何中心）处。

2. 提取底面与高的一半：

• 正六棱柱的侧棱长即为柱体的高度 $h=\sqrt{6}$，则球心到两底面的垂直距离为 $d=\frac{1}{2}h=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
• 正六棱柱的底面是正六边形，正六边形的外接圆半径 $r$ 恰好严格等于其边长。已知底面边长为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$，故底面外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

3. 勾股定理求 $R$：

• 球半径 $R$、底面外接圆半径 $r$ 以及球心到一底面的距离 $d$ 构成直角三角形。满足 $R^2=r^2+d^2$。

4. 带入球体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 求解。

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$4\sqrt{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为正六棱柱的所有顶点都在同一个球面上， 该球即为正六棱柱的外接球。 根据正多棱柱外接球的对称性， 球心 $O$ 必然位于该棱柱上下底面中心连线段的中点处。

我们建立外接球半径 $R$ 的核心计算直角三角形：

• 求底面外接圆半径 $r$：由于正六棱柱的底面是标准的正六边形， 而正六边形的中心到各顶点的距离（即底面外接圆半径 $r$）恒等于其边长。 题目已知底面边长为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$， 故： $r=\frac{\sqrt{6}}{2}$
• 求球心到一底面的垂直距离 $d$：垂直距离等于正六棱柱总高度（侧棱长）的一半。 已知侧棱长 $h=\sqrt{6}$， 故： $d=\frac{1}{2}h=\frac{\sqrt{6}}{2}$

由立体几何截面性质， 球半径 $R$、底面外接圆半径 $r$ 以及垂直半高 $d$ 刚好构成以 $R$ 为斜边的直角三角形。 根据勾股定理： $R^2=r^2+d^2={\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{6}{4}+\frac{6}{4}=\frac{12}{4}=3$ 两边开平方可得球的半径为： $R=\sqrt{3}$

将半径 $R=\sqrt{3}$ 代入球的体积标准计算公式中： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times (\sqrt{3}{)}^3=\frac{4}{3}\pi \times 3\sqrt{3}=4\sqrt{3}\pi$

故答案为： $4\sqrt{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正六边形的几何度量关系（边长=外接圆半径）、多棱柱外接球半径公式模型（ $R^2=r^2+(\frac{h}{2}{)}^2$）。
2. 避坑指南：

• 要牢记正六边形特有的性质：其底面外接圆半径就是它的边长， 这一步切忌去套用正三角形或正方形的复杂根号换算公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正六棱柱的几何性质、外接球与多面体的关系（立体几何截面圆）是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正六棱柱的几何性质、外接球与多面体的关系（立体几何截面圆）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用勾股定理构造直角三角形法、截面轴向分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-15 填-外接球体积
• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2008-安徽卷文-16 填-球面距离