2008-浙江卷文-15 填-外接球体积

本题导读

本题求过球面上四点 $A,B,C,D$ 的球体积：由 $DA\perp$ 平面 $ABC$、$AB\perp BC$ 建系，用 $OA=OB=OC=OD$ 定球心，再求半径与体积。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 如图，已知球 $O$ 的球面上四点 $A$，$B$，$C$，$D$，$DA\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$DA=AB=BC=\sqrt{3}$，则球 $O$ 的体积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建空间直角坐标系，使 $A$ 为原点，平面 $ABC$ 为 $z=0$，取 $B=(\sqrt{3},0,0)$，$C=(\sqrt{3},\sqrt{3},0)$，$D=(0,0,\sqrt{3})$。
2. 设球心 $O=(u,v,w)$，由 $OA=OB=OC=OD$ 解出球心，得半径 $r$。
3. 代入球体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。

✅【答案】

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$\frac{9\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，平面 $ABC$ 为 $z=0$，并取 $B=(\sqrt{3},0,0)$，$C=(\sqrt{3},\sqrt{3},0)$。 由 $DA\perp$ 平面 $ABC$ 且 $DA=\sqrt{3}$，可取 $D=(0,0,\sqrt{3})$。 设球心为 $O=(u,v,w)$。因为 $OA=OB$，得 $u=\frac{\sqrt{3}}{2}$；因为 $OB=OC$，得 $v=\frac{\sqrt{3}}{2}$；因为 $OA=OD$，得 $w=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 所以球半径满足 $r^2=O{A}^2=u^2+v^2+w^2=3\times {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$，即 $r=\frac{3}{2}$。 故球的体积为 $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{9\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：外接球与球的体积

核心方法：建系，用 $OA=OB=OC=OD$ 定球心

避坑指南：球心三坐标都是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，半径 $r=\frac{3}{2}$；体积是 $\frac{9\pi }{2}$ 而非 $\frac{4\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 新课标Ⅰ文第 7 题、2011 重庆文第 10 题同考外接球。

结论推广：外接球问题建系，用”球心到各顶点等距”列方程。

方法推广：建系选好原点与坐标轴，球心坐标由等距条件逐分量解出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-07 单-长方体外接球
• 2010-江西卷文-16 填-长方体外接球球面距离
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球
• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积