2007-辽宁卷理-16 填-特殊位置优先组合选位法

本题导读

本题是一道具有极高思维含量的排列组合填空压轴题。题目给出了两类截然不同的限制条件：一类是局部的“错位”限制（ $a_1\ne 1,a_3\ne 3,a_5\ne 5$），另一类是奇数位置三个元素内部严格的“大小顺序”限制（ $a_1<a_3<a_5$）。核心突破口在于对奇数项位置进行科学的分类穷举填数。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 将数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 排成一列，记第 $i$ 个数为 $a_i(i=1,2,\cdots ,6)$. 若 $a_1\ne 1,a_3\ne 3,a_5\ne 5$， 且 $a_1<a_3<a_5$，则不同的排列方法共有$\underline{}$种. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别核心限制：

• 偶数项位置 $a_2,a_4,a_6$： 没有任何特殊数字或大小限制， 只要奇数项位置挑完数后， 剩下的 3 个数直接全排列放入即可， 方案数恒为 ${\text{A}}_3^3=6$。
• 奇数项位置 $a_1,a_3,a_5$： 核心控局元。挑出的三个数由于必须满足唯一的递增顺序 $a_1<a_3<a_5$， 故只要三个数选定， 排列方式是唯一的。但它们必须绕开错位限制： $a_1\ne 1,a_3\ne 3,a_5\ne 5$。

2. 对奇数项位置选数进行分类穷举： 从 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中任选 3 个互不相同的数作为 $\{a_1,a_3,a_5\}$，按从小到大排序。 我们通过控制最大数 $a_5$ 或最小数 $a_1$ 的取值边界进行分类计数。

• 思路优化：由于 $a_1<a_3<a_5$ 且 $a_1\ne 1⟹a_1\ge 2$。
• 既然 $a_1\ge 2$， 那么三个数的取值只能从 $\{2,3,4,5,6\}$ 这 5 个数中产生。

3. 从 5 个数中选 3 个数的总组合数为 ${\text{C}}_5^3=10$ 种。我们只需从这 10 种排好序的组合中， 剔除掉触犯 $a_3=3$ 或 $a_5=5$ 禁忌的非法组合。

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30

✍【详细解析】

Abstract

解：我们将整个 6 位数字的排列任务拆分为两个独立的分步：

• 第一步：为三个偶数项位置 $a_2,a_4,a_6$ 填数。由于偶数位置没有任何代数限制， 只要奇数项位置选定后， 剩余的 3 个数字在偶数位置进行全排列即可， 方案数恒为： $N_{\text{偶}}={\text{A}}_3^3=6\text{ 种}$
• 第二步：为三个奇数项位置 $a_1,a_3,a_5$ 从 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中挑选 3 个互不相同的数字填入。

下面我们深度聚焦并穷举奇数位置的合法组合数 $N_{\text{奇}}$： 已知三个数字必须满足严格递增的顺序： $a_1<a_3<a_5$。这意味着一旦 3 个数字选定， 它们在奇数项位置的摆放顺序有且仅有唯一的一条链条。 同时必须规避以下错位红线： $a_1\ne 1,a_3\ne 3,a_5\ne 5$

因为 $a_1\ne 1$ 且 $a_1$ 是三个数中最小的项， 所以必有 $a_1\ge 2$。 既然最小的数都必须大于或等于 2， 这意味着 $\{a_1,a_3,a_5\}$ 的候选数字绝对不可能包含数字 1。 因此， 奇数项位置的 3 个数只能从剩余的 5 个数字 $\{2,3,4,5,6\}$ 中挑选。

从 5 个备选数字中任意挑选 3 个并自动按从小到大排列的总组合数为： ${\text{C}}_5^3=10\text{ 种}$ 我们在下表中完整罗列这 10 种可能， 并逐一核对是否触犯 $a_3\ne 3$ 和 $a_5\ne 5$ 的禁忌：

序号	挑选组合 $(a_1,a_3,a_5)$	状态检验 (要求 $a_3\ne 3,a_5\ne 5$)	结论
1	$(2,3,4)$	错误：中间项 $a_3=3$	排除
2	$(2,3,5)$	错误： $a_3=3$ 且 $a_5=5$	排除
3	$(2,3,6)$	错误：中间项 $a_3=3$	排除
4	$(2,4,5)$	错误：最大项 $a_5=5$	排除
5	$(2,4,6)$	正确： 满足所有非等条件	保留
6	$(2,5,6)$	正确： 满足所有非等条件	保留
7	$(3,4,5)$	错误：最大项 $a_5=5$	排除
8	$(3,4,6)$	正确： 满足所有非等条件	保留
9	$(3,5,6)$	正确： 满足所有非等条件	保留
10	$(4,5,6)$	正确： 满足所有非等条件	保留

经过严密完整的表格法穷举筛选， 发现 10 种组合中共有 5 种不合法被排除， 最终合法的奇数位选数方案共有： $N_{\text{奇}}=10-5=5\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理， 全局总共不同的排列方法种数为： $N=N_{\text{奇}}\times N_{\text{偶}}=5\times 6=30\text{ 种}$

故答案为：30。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：顺序固定的排列转化为组合问题（“定序视为组合”）、含多个不等限制条件的离散穷举筛选。
2. 核心方法：全排列分步计数法、表格清单穷举剔除法。
3. 避坑指南：

• 本题最大的难点在于如何不重不漏地处理 $a_3\ne 3,a_5\ne 5$。很多同学在用抽象的组合公式计算时，由于交集、并集的重叠极易算错。
• 记住最高效的考场破局方案： “把数字 1 剔除后，总数只剩 10 种可能。此时直接用最原始、最踏实的‘列清单法’把 10 个三元组写出来”。只需耗费 30 秒， 就能百分之百准确地勾选出符合要求的 5 组数据， 从而稳稳拿到这极其宝贵的 5 分压轴分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列组合与计数原理、错位排列（限定位置不排特定元素）是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是排列组合与计数原理、错位排列（限定位置不排特定元素）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用分类讨论计数法、逐步插空/填位法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-05 填-古典概型
• 2013-四川卷理-11 填-二项式通项
• 2008-浙江卷文-17 填-奇偶相邻排列