2007-重庆卷文-12 单-椭圆与直线相切定长轴

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相切的判别式。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 已知以 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$ 为焦点的椭圆与直线 $x+\sqrt{3}y+4=0$ 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ()

A. $3\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{6}$　　　　　　　C. $2\sqrt{7}$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点在 $x$ 轴上，$c=2$，$b^2=a^2-4$，设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-4}=1$。
2. 直线 $y=-\frac{x+4}{\sqrt{3}}$ 代入椭圆，整理为 $x$ 的二次方程，判别式为 0。
3. 整理得 $4(a^2-3)x^2+8a^{2}x+a^2(28-3a^2)=0$，判别式为零化简为 $a^4-11a^2+28=0$。
4. $a^2=7$ 或 $a^2=4$；$a^2=4$ 时 $b^2=0$ 退化，舍去，故 $a=\sqrt{7}$，长轴 $2\sqrt{7}$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

焦点 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，故 $c=2$，$b^2=a^2-4$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-4}=1$（$a^2>4$）． 直线 $x+\sqrt{3}y+4=0$ 即 $y=-\frac{x+4}{\sqrt{3}}$，代入椭圆方程并整理，得 $4(a^2-3)x^2+8a^{2}x+a^2(28-3a^2)=0$． 直线与椭圆有且仅有一个交点，即相切，判别式为 0： $64a^4-16(a^2-3)\cdot a^2(28-3a^2)=0$． 由 $a^2>4$ 约去 $16a^2$，得 $4a^2-(a^2-3)(28-3a^2)=0$，展开整理得 $3a^4-33a^2+84=0$，即 $a^4-11a^2+28=0$，$(a^2-4)(a^2-7)=0$． $a^2=4$ 时 $b^2=0$，椭圆退化为线段，舍去；故 $a^2=7$，长轴长 $2a=2\sqrt{7}$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与直线相切定长轴

核心方法：$c=2$，$b^2=a^2-4$；联立化为一元二次，判别式为零得 $a^4-11a^2+28=0$

避坑指南：相切即判别式为 0；$a^2=4$ 使 $b^2=0$ 退化须舍去，长轴是 $2a$ 不是 $a$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与直线相切求标准量，与 2014 重庆文第 21 题、2013 重庆文第 21 题的椭圆综合题呼应

结论推广：焦点位置定方程形式，相切定判别式为零；$c=2$ 给 $b^2=a^2-4$

方法推广：联立后化为一元二次方程，判别式为零解出 $a^2$；增根（退化情形）要检验舍弃

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2013-重庆卷文-21 解-椭圆内切圆面积
• 2015-重庆卷文-21 解-椭圆定义