2013-重庆卷文-21 解-椭圆内切圆面积

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于待定系数法、二次函数最值的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$，$A\prime$ 两点，$|AA\prime |=4$.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取平行于 $y$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$，$P\prime$，过 $P$，$P\prime$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外，求 $△PP\prime Q$ 的面积 $S$ 的最大值，并写出对应的圆 $Q$ 的标准方程.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $b^2=\frac{a^2}{2}$，通径 $\frac{2b^2}{a}=4$ → $a=4$，$b^2=8$ → $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$。
2. $(2)$ 设 $Q(x_0,0)$，$|QM{|}^2=\frac{1}{2}(x-2x_0{)}^2+8-x_0^2$ 在 $x=2x_0$ 最小 → 切点 $P(2x_0,\pm y_1)$，$r^2=8-x_0^2$。
3. $S=\frac{1}{2}\cdot 2|y_1|\cdot |x_0|=|x_0|\sqrt{8-2x_0^2}$；$S^2=2u(4-u)$（$u=x_0^2\in (0,4)$）在 $u=2$ 最大 $8$。
4. $S_{\max }=2\sqrt{2}$，$x_0=\pm \sqrt{2}$，$r^2=6$ → 圆 $(x-\sqrt{2}{)}^2+y^2=6$ 或 $(x+\sqrt{2}{)}^2+y^2=6$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$；(2)$S_{\max }=2\sqrt{2}$，圆 $Q$：$(x-\sqrt{2}{)}^2+y^2=6$ 或 $(x+\sqrt{2}{)}^2+y^2=6$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）。 过左焦点 $F_1(-c,0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆的交点纵坐标为 $\pm \frac{b^2}{a}$（通径端点），故 |AA\prime|=\frac{2b^{2}}{a}=4,\qquad\text{即}\ \frac{b^{2}}{a}=2.\tag{①} 又离心率 e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt2}{2}\Longrightarrow c^{2}=\frac{a^{2}}{2}\Longrightarrow b^{2}=a^{2}-c^{2}=\frac{a^{2}}{2}.\tag{②} 把②代入①：$\frac{a^2/2}{a}=2\Rightarrow a=4$，故 $b^2=8$。 所求椭圆方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1.$ （2） 由椭圆关于 $x$ 轴对称，且 $P,P\prime$ 横坐标相同，圆心 $Q$ 必在 $x$ 轴上，设 $Q(x_0,0)$（不妨 $x_0>0$，右侧对称同理）。 “椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外”意味着：$P$（与 $P\prime$）是椭圆上到 $Q$ 距离最小的点。 设 $M(x,y)$ 是椭圆上任意一点，则 $y^2=8-\frac{x^2}{2}$，于是 $|QM{|}^2=(x-x_0{)}^2+y^2=x^2-2x_{0}x+x_0^2+8-\frac{x^2}{2}$ $=\frac{1}{2}(x-2x_0{)}^2+8-x_0^2.$ 它是关于 $x$ 的二次函数，开口向上，在 $x=2x_0$ 处取最小值 $8-x_0^2$。 因为切点横坐标必须落在 $(-4,4)$ 内，故 $2x_0\in (-4,4)$，即 $x_0\in (-2,2)$。 于是切点为 $P(2x_0,y_1)$、$P\prime (2x_0,-y_1)$，其中 $y_1^2=8-\frac{(2x_0{)}^2}{2}=8-2x_0^2,r^2=|QP{|}^2=8-x_0^2.$ （$r^2=8-x_0^2>0$ 与 $x_0^2<4$ 相容。） 三角形面积 $S=\frac{1}{2}\cdot |PP\prime |\cdot d(Q,\text{直线}PP\prime )=\frac{1}{2}\cdot 2|y_1|\cdot |x_0|=|x_0|\sqrt{8-2x_0^2}.$ 记 $u=x_0^2\in (0,4)$，则 $S^2=u(8-2u)=2u(4-u)=-2{\left(u-2\right)}^2+8⩽8,$ 当且仅当 $u=2$ 即 $x_0=\pm \sqrt{2}$ 时取等号，故 $S_{\max }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$ 此时 $r^2=8-x_0^2=8-2=6,$ 即半径 $r=\sqrt{6}$，圆心 $Q(\pm \sqrt{2},0)$。 对应的圆 $Q$ 的标准方程为 $(x-\sqrt{2}{)}^2+y^2=6\text{或}(x+\sqrt{2}{)}^2+y^2=6.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的方程与椭圆内切圆的面积最值

核心方法：$(1)$ $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ → $b^2=\frac{a^2}{2}$；过左焦点垂直于 $x$ 轴的弦（通径）$\frac{2b^2}{a}=|AA\prime |=4$ → $a=4$，$b^2=8$ → $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$。\n$(2)$ 由对称性 $Q(x_0,0)$；椭圆上点 $M(x,y)$ 到 $Q$ 的距离平方\n$|QM{|}^2=(x-x_0{)}^2+y^2=\frac{1}{2}(x-2x_0{)}^2+8-x_0^2$，在 $x=2x_0$ 处最小 → 切点 $P(2x_0,\pm y_1)$，$r^2=8-x_0^2$；\n$S=\frac{1}{2}\cdot |PP\prime |\cdot |x_1-x_0|=|x_0|\sqrt{8-2x_0^2}$，$S^2=2u(4-u)$（$u=x_0^2$）在 $u=2$ 取最大 $8$ → $S_{\max }=2\sqrt{2}$，此时 $x_0=\pm \sqrt{2}$，圆 $Q$：$(x\mp \sqrt{2}{)}^2+y^2=6$

避坑指南：★ 合集把椭圆误印为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$（其通径只有 $2$，与 $|AA\prime |=4$ 矛盾），正确方程是 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$。“其余点均在圆 $Q$ 外”要翻译成”$P,P\prime$ 是椭圆上到 $Q$ 最近的点”，即 $|QM{|}^2$ 在 $x=x_1$ 处取最小——二次函数顶点 $x=2x_0$ 必须落在 $(-4,4)$ 内（即 $x_0\in (-2,2)$），否则圆会与椭圆不相切。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的标准方程、椭圆与圆的位置关系（内切）、面积最值。

结论推广：离心率与通径长；距离平方的二次函数最值；基本不等式（或二次函数）求面积最大。

方法推广：通径定 $a,b$ → 写 $|QM{|}^2$ 找最近点 → 表达面积 $S(x_0)$ → 换元求最大值与圆方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2014-山东卷文-21 解-椭圆斜率面积