2007-重庆卷文-17 解-独立重复试验次数相等

本题导读

本题考查相互独立事件同时发生的概率。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{4}{5}$，且各次射击相互独立．

(1) 若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；

(2) 若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．

🔍【思路分析】

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1. (1) 独立事件同时发生：$P=\frac{3}{4}\times \left(1-\frac{4}{5}\right)$。
2. (2) 甲命中次数 $X\sim B\left(2,\frac{3}{4}\right)$：$P(X=k)$ 为 $k=0$：$\frac{1}{16}$，$k=1$：$\frac{6}{16}$，$k=2$：$\frac{9}{16}$。
3. 乙命中次数 $Y\sim B\left(2,\frac{4}{5}\right)$：$P(Y=k)$ 为 $k=0$：$\frac{1}{25}$，$k=1$：$\frac{8}{25}$，$k=2$：$\frac{16}{25}$。
4. 次数相等：$P=\sum _{k=0}^{2}P(X=k)P(Y=k)$。

✅【答案】

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(1) $\frac{3}{20}$；(2) $\frac{193}{400}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设甲命中目标为事件 $A$，乙命中目标为事件 $B$，则 $P(A)=\frac{3}{4}$，$P(B)=\frac{4}{5}$，$A$ 与 $B$ 相互独立． 甲命中但乙未命中的概率为 $P=P(A)\left[1-P(B)\right]=\frac{3}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{20}$． (2) 甲射击两次，命中次数 $X$ 服从二项分布 $B\left(2,\frac{3}{4}\right)$： $P(X=0)={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$，　$P(X=1)={\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{6}{16}$，　$P(X=2)={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$． 乙射击两次，命中次数 $Y$ 服从二项分布 $B\left(2,\frac{4}{5}\right)$： $P(Y=0)={\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{25}$，　$P(Y=1)={\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{8}{25}$，　$P(Y=2)={\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$． 两人命中次数相等即 $X=Y$，由独立性， $P(X=Y)=\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{25}+\frac{6}{16}\cdot \frac{8}{25}+\frac{9}{16}\cdot \frac{16}{25}=\frac{1+48+144}{400}=\frac{193}{400}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验次数相等

核心方法：(1) $\frac{3}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{20}$；(2) $\sum P(X=k)P(Y=k)=\frac{1+48+144}{400}=\frac{193}{400}$

避坑指南：次数相等对 $k=0,1,2$ 三种情形求和，别漏 $k=0$；独立重复试验概率用 ${\mathrm{C}}_2^k{p}^k(1-p{)}^{2-k}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验概率，与 2009 文第 17 题、2011 文第 17 题的重庆概率大题同型

结论推广：命中次数服从二项分布；次数相等按 $k$ 分类求和

方法推广：两人各射两次的概率和事件按 $k=0,1,2$ 全列举，通分后合并；别漏全不命中的情形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2009-重庆卷文-17 解-独立事件概率
• 2011-重庆卷文-17 解-独立重复与非空分配
• 2010-重庆卷文-17 解-排列古典概型