2007-重庆卷文-19 解-异面直线距离与四棱锥体积

本题导读

本题考查异面直线间的距离。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AB=1$，$BC=\frac{3}{2}$，$A{A}_1=2$；点 $D$ 在棱 $B{B}_1$ 上，$BD=\frac{1}{3}B{B}_1$；$B_{1}E\perp A_{1}D$，垂足为 $E$．求：

(1) 异面直线 $A_{1}D$ 与 $B_1{C}_1$ 的距离；

(2) 四棱锥 $C-ABDE$ 的体积．

🔍【思路分析】

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1. $BC\perp AB$ 且 $BC\perp B{B}_1$，故 $BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$；$B_1{C}_1\parallel BC$，故 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。
2. $B_{1}E$ 在该平面内，故 $B_1{C}_1\perp B_{1}E$；又 $B_{1}E\perp A_{1}D$，所以 $B_{1}E$ 是公垂线段。
3. 矩形内计算：$BD=\frac{2}{3}$，$B_{1}D=\frac{4}{3}$，$A_1{B}_1=1$，$A_{1}D=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$，$B_{1}E=\frac{A_1{B}_1\cdot B_{1}D}{A_{1}D}=\frac{4}{5}$。
4. (2) 高为 $C$ 到平面 $AB{B}_1{A}_1$ 的距离 $BC=\frac{3}{2}$；$S_{ABDE}=S_{△ABD}+S_{△ADE}$，其中 $A_{1}E=\frac{A_1{B}_1^2}{A_{1}D}=\frac{3}{5}$，$ED=\frac{16}{15}$，$△ADE$ 与 $△A_{1}AD$ 同底 $AD$、位似比 $ED:A_{1}D=16:25$，而 $S_{△A_{1}AD}=1$，故 $S_{△ADE}=\frac{16}{25}$，$S_{ABDE}=\frac{73}{75}$，$V=\frac{73}{150}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{4}{5}$；(2) $\frac{73}{150}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\angle ABC=90^{\circ }$ 得 $BC\perp AB$；又侧棱 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABC$，故 $BC\perp B{B}_1$，于是 $BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$． 由棱柱性质 $B_1{C}_1\parallel BC$，故 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$． $B_{1}E\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，故 $B_1{C}_1\perp B_{1}E$；又已知 $B_{1}E\perp A_{1}D$，所以 $B_{1}E$ 是异面直线 $A_{1}D$ 与 $B_1{C}_1$ 的公垂线段，其长度即所求距离． 在矩形 $AB{B}_1{A}_1$ 中，$A_1{B}_1=AB=1$，$B{B}_1=A{A}_1=2$，$BD=\frac{1}{3}B{B}_1=\frac{2}{3}$，故 $B_{1}D=\frac{4}{3}$． $\mathrm{Rt}△A_1{B}_{1}D$ 中，$A_{1}D=\sqrt{A_1{B}_1^2+B_1{D}^2}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$． 由面积法，$B_{1}E\cdot A_{1}D=A_1{B}_1\cdot B_{1}D$，故 $B_{1}E=\frac{1\times \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{4}{5}$． (2) 顶点 $C$ 到平面 $AB{B}_1{A}_1$ 的距离即 $BC=\frac{3}{2}$，故 $V_{C-ABDE}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABDE}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}{S}_{ABDE}$． 连 $DE$，则 $S_{ABDE}=S_{△ABD}+S_{△ADE}$． $S_{△ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BD=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$． 由射影定理，$\mathrm{Rt}△A_1{B}_{1}D$ 中 $A_{1}E=\frac{A_1{B}_1^2}{A_{1}D}=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}$，故 $ED=A_{1}D-A_{1}E=\frac{5}{3}-\frac{3}{5}=\frac{16}{15}$． $△ADE$ 与 $△A_{1}AD$ 同底 $AD$，顶点 $E$、$A_1$ 在直线 $A_{1}D$ 上，故其面积比为 $ED:A_{1}D=\frac{16}{15}:\frac{5}{3}=16:25$． 四边形 $A_{1}ABD$ 被对角线 $A_{1}B$ 分为 $△A_{1}AB$ 与 $△A_{1}BD$：$S_{△A_{1}AB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot A{A}_1=\frac{1}{2}\times 1\times 2=1$，$S_{△A_{1}BD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot A_1{B}_1=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times 1=\frac{1}{3}$；又被对角线 $AD$ 分为 $△A_{1}AD$ 与 $△ABD$，故 $S_{△A_{1}AD}=\left(1+\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}=1$． 于是 $S_{△ADE}=\frac{16}{25}\cdot S_{△A_{1}AD}=\frac{16}{25}$，故 $S_{ABDE}=\frac{1}{3}+\frac{16}{25}=\frac{25+48}{75}=\frac{73}{75}$， $V_{C-ABDE}=\frac{1}{3}\times \frac{73}{75}\times \frac{3}{2}=\frac{73}{150}$． 【注】$E$ 的位置亦可用坐标验证：以 $B$ 为原点、$BA$ 与 $B{B}_1$ 所在直线为轴建系，$D\left(0,\frac{2}{3}\right)$，$E\left(\frac{16}{25},\frac{38}{25}\right)$，与正文结果一致；$B_{1}D$ 与 $A_{1}D$ 的长度经复算核对无误．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线距离与四棱锥体积

核心方法：$B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ 得 $B_{1}E$ 为公垂线段，$B_{1}E=\frac{4}{5}$；$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{73}{75}\cdot \frac{3}{2}=\frac{73}{150}$

避坑指南：公垂线段须同时垂直两条异面直线，垂直证明分两步写；$B_{1}D=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，四棱锥高是 $BC$ 不是 $C{C}_1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱中的距离与体积，与 2012 文第 20 题、2011 文第 20 题、2007 理第 19 题同型

结论推广：异面直线距离先找公垂线段（借面面垂直转线线垂直）；体积用等价转化定高

方法推广：公垂线段要同时垂直两条异面直线，证明分两步；锥体体积先确认底面形状与对应高

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2012-重庆卷文-20 解-直三棱柱中的角与距离
• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角
• 2007-重庆卷理-19 解-二面角平面角其正切值