2007-重庆卷理-19 解-二面角平面角其正切值

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系，以及异面直线距离和二面角的计算。核心在于利用直三棱柱的垂直特征建立空间直角坐标系，通过体积比锁定动点 $D$ 的精确坐标，进而运用向量法高效推进求解。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $A{A}_1=2,AB=1,\angle ABC=90^{\circ }$；点 $D、E$ 分别在 $B{B}_1、A_{1}D$ 上，且 $B_{1}E\perp A_{1}D$，四棱锥 $C-ABD{A}_1$ 与直三棱柱的体积之比为 $3:5$.

(1) 求异面直线 $DE$ 与 $B_1{C}_1$ 的距离；

(2) 若 $BC=\sqrt{2}$，求二面角 $A_1-D{C}_1-B_1$ 的平面角的正切值.

🔍【思路分析】

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1. 确定点 $D$ 的位置（体积比代换）：

• 直三棱柱的体积 $V_{\text{柱}}=S_{△ABC}\cdot A{A}_1=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot 2=BC$.
• 四棱锥 $C-ABD{A}_1$ 的底面是直角梯形 $ABD{A}_1$，高为 $AB=1$. 设 $BD=h$，则底面积 $S=\frac{1}{2}(2+h)\cdot 1$. 顶点 $C$ 到该底面的距离为 $BC$.
• 四棱锥体积 $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2+h}{2}\cdot BC=\frac{2+h}{6}BC$.
• 由 $\frac{V_{\text{锥}}}{V_{\text{柱}}}=\frac{2+h}{6}=\frac{3}{5}⟹h=\frac{8}{5}$. 从而确定 $BD=\frac{8}{5},B_{1}D=\frac{2}{5}$.

2. 第一问（异面直线距离）：

• 直线 $DE$ 即为直线 $A_{1}D$.
• 因为 $B_1{C}_1\parallel BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，所以 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$.
• 由此可得 $B_1{C}_1\perp B_{1}E$. 又已知 $B_{1}E\perp A_{1}D$，所以线段 $B_{1}E$ 是异面直线 $A_{1}D$ 与 $B_1{C}_1$ 的公垂线段，其长度即为所求距离.

3. 第二问（二面角的正切值）：

• 以 $B$ 为原点，射线 $BC,BA,B{B}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系.

• 分别求出面 $A_{1}D{C}_1$ 和面 $B_{1}D{C}_1$ 的法向量，计算夹角余弦值并转换为正切值.

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：（1）在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$， 且 $\angle ABC=90^{\circ }$. 设 $BD=h$ ($0\le h\le 2$). 直三棱柱的体积为： $V_{\text{柱}}=S_{△ABC}\cdot A{A}_1=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot 2=BC$.

四棱锥 $C-ABD{A}_1$ 的底面 $ABD{A}_1$ 为直角梯形， 其面积为： $S_{ABD{A}_1}=\frac{A{A}_1+BD}{2}\cdot AB=\frac{2+h}{2}\cdot 1=\frac{2+h}{2}$ 由于 $BC\perp AB$ 且 $BC\perp B{B}_1$， 故 $BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$. 四棱锥的体积为： $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABD{A}_1}\cdot BC=\frac{2+h}{6}BC$

根据已知条件体积比为 $3:5$： $\frac{V_{\text{锥}}}{V_{\text{柱}}}=\frac{\frac{2+h}{6}BC}{BC}=\frac{2+h}{6}=\frac{3}{5}⟹2+h=\frac{18}{5}⟹h=\frac{8}{5}$ 即 $BD=\frac{8}{5}$， 从而 $B_{1}D=B{B}_1-BD=2-\frac{8}{5}=\frac{2}{5}$.

因为 $B_1{C}_1\parallel BC$， 且 $BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$， 所以 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$. 又因为 $A_{1}D\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$, $B_{1}E\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$， 所以 $B_1{C}_1\perp B_{1}E$， 且 $B_1{C}_1\perp A_{1}D$. 已知 $B_{1}E\perp A_{1}D$， 因此， 线段 $B_{1}E$ 是异面直线 $A_{1}D$（即 $DE$） 与 $B_1{C}_1$ 的公垂线段.

在 $\text{Rt}△A_1{B}_{1}D$ 中， $\angle A_1{B}_{1}D=90^{\circ },A_1{B}_1=1,B_{1}D=\frac{2}{5}$， 斜边 $A_{1}D=\sqrt{A_1{B}_1^2+B_1{D}^2}=\sqrt{1^2+{\left(\frac{2}{5}\right)}^2}=\frac{\sqrt{29}}{5}$. 根据直角三角形面积公式， $B_{1}E=\frac{A_1{B}_1\cdot B_{1}D}{A_{1}D}=\frac{1\times \frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{29}}{5}}=\frac{2}{\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$ 所以， 异面直线 $DE$ 与 $B_1{C}_1$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{29}}{29}$.

（2）以 $B$ 为原点， 射线 $BC,BA,B{B}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $B-xyz$. 由 $BC=\sqrt{2},AB=1,BD=\frac{8}{5}$ 可得各点坐标： $B(0,0,0),B_1(0,0,2),D\left(0,0,\frac{8}{5}\right),C_1(\sqrt{2},0,2),A_1(0,1,2)$

易知， 平面 $B_{1}D{C}_1$ 即为 $xOz$ 面， 其一个标准法向量为： ${\vec{n}}_1=(0,1,0)$

设平面 $A_{1}D{C}_1$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$. $\overrightarrow{D{A}_1}=\left(0,1,\frac{2}{5}\right),\overrightarrow{D{C}_1}=\left(\sqrt{2},0,\frac{2}{5}\right)$ 根据法向量垂直特征建立方程组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{D{A}_1}=y+\frac{2}{5}z=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=\sqrt{2}x+\frac{2}{5}z=0\end{array}$ 令 $z=-5$， 解得 $y=2,x=\sqrt{2}$. 故平面 $A_{1}D{C}_1$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_2=(\sqrt{2},2,-5)$

设二面角 $A_1-D{C}_1-B_1$ 的平面角为 $\theta$. $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|0\times \sqrt{2}+1\times 2+0\times (-5)|}{1\times \sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+2^2+(-5{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{31}}$ 则 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{4}{31}}=\sqrt{\frac{27}{31}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$. 所以， 二面角平面角的正切值为： $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}}}{\frac{2}{\sqrt{31}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立、公垂线段法求异面直线距离、利用空间两平面法向量点积求解二面角平面角.
2. 核心方法：空间向量坐标法、体积模型转化法.
3. 避坑指南：

• 第一问求异面直线距离时，无需盲目使用复杂的向量距离公式。通过几何观察证明 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，从而将问题转化为经典的平面直角三角形内部求高，可极大地节约时间并保证正确率.

• 最终要求的是二面角的正切值（ $\tan \theta$），利用向量求出 $\cos \theta$ 后切记要进行同角三角函数转换，不要直接把余弦值当成答案写上.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自传统立体几何解答题的经典建系构型，通过对体积比的巧妙设限制引入隐藏变量，综合考查了线线距离、面面夹角两大核心量化指标.

2. 结论推广：在任何侧棱垂直于底面的直柱体模型中， 若存在一条外侧棱平行于某一侧面， 则该外侧棱与该侧面内任意直线的异面距离， 恒等于该外侧棱端点到该侧面的垂直垂线段长度.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角