2007-重庆卷理-14 填-等比数列通项公比性质

本题导读

本题考查一元二次方程根的求解与等比数列通项性质的综合。核心在于首先通过因式分解求出方程的两根，根据等比数列递增特征确定两根各自对应的项，进而解出公比并求得目标两项之和。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 为公比 $q>1$ 的等比数列，若 $a_{2004}$ 和 $a_{2006}$ 是方程 $4x^2-8x+3=0$ 的两根，则 $a_{2006}+a_{2007}=$ ________。

🔍【思路分析】

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1. 直接解一元二次方程：对 $4x^2-8x+3=0$ 进行十字相乘分解， 求出具体两根。

2. 依据单调性给项分配数值：已知公比 $q>1$ 且各项应为正数（由根为正数推知）， 故数列单调递增， 项数越大的对应数值越大， 从而锁定 $a_{2004}$ 与 $a_{2006}$ 的具体取值。

3. 推导公比并求解目标项：根据 $q^2=\frac{a_{2006}}{a_{2004}}$ 求出公比 $q$， 进而根据递推性质 $a_{2007}=a_{2006}\cdot q$ 累加求和。

✅【答案】

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$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$ （或写成 $\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

解：首先， 求解题目给出的一元二次方程 $4x^2-8x+3=0$。 利用十字相乘法进行因式分解： $(2x-1)(2x-3)=0$ 解得方程的两个实数根分别为： $x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$

因为 $a_{2004}$ 和 $a_{2006}$ 是该方程的两个根， 且已知等比数列的公比满足 $q>1$。 在项为正数的递增等比数列中， 项数越靠后， 其对应的数值必然越大。 由于 $2006>2004$， 故必有 $a_{2006}>a_{2004}$。 由此可确定两个项的精确对应分配： $a_{2004}=\frac{1}{2},a_{2006}=\frac{3}{2}$

根据等比数列的通项基本性质， 间隔两项的项比值等于公比的平方： $q^2=\frac{a_{2006}}{a_{2004}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$ 因为公比大前提要求 $q>1$， 故对其开平方开根号取正根： $q=\sqrt{3}$

题目要求计算 $a_{2006}+a_{2007}$ 的值。 根据邻项递推公式， $a_{2007}=a_{2006}\cdot q$。 代入得： $a_{2006}+a_{2007}=a_{2006}+a_{2006}\cdot q=a_{2006}(1+q)$ 将已知的 $a_{2006}=\frac{3}{2}$ 和 $q=\sqrt{3}$ 整体代入其中： $a_{2006}+a_{2007}=\frac{3}{2}\times (1+\sqrt{3})=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：十字相乘法解一元二次方程、公比 $q>1$ 决定等比项大小对位的单调逻辑、等比跨项及邻项乘公比的转化。
2. 核心方法：直接因式分解法。
3. 避坑指南：

• 分配项时千万不要把大小顺序看反。因为 $2006>2004$ 且 $q>1$， 绝不能写成 $a_{2006}=1/2$， 否则求出的公比会小于 1， 与已知矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一元二次方程的解法与根的判别、等比数列的通项与公比性质是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是一元二次方程的解法与根的判别、等比数列的通项与公比性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用根的直接因式分解法、项数平移换算乘法法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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