2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和

本题导读

考查等比数列基本量。把 $a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n$ 两边同除以 $a_n$ 化为 $q^2+q=6$，解出 $q$ 后套求和公式。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q>0$，已知 $a_2=1$，$a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n$，则 $\{a_n\}$ 的前 $4$ 项和 $S_4=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等比数列中 $a_{n+1}=a_{n}q$，$a_{n+2}=a_n{q}^2$，条件化为 $q^2+q=6$。
2. 解得 $q=2$（$q=-3$ 与 $q>0$ 矛盾舍去）。
3. $a_2=1\Rightarrow a_1=\frac{1}{2}$，套求和公式。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{15}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_{n+2}=a_n{q}^2$，$a_{n+1}=a_{n}q$，条件化为 $a_n(q^2+q)=6a_n$，即 $q^2+q-6=0$，解得 $q=2$ 或 $q=-3$。 因 $q>0$，故 $q=2$。由 $a_2=a_{1}q=1$ 得 $a_1=\frac{1}{2}$。 $S_4=\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}(1-16)}{1-2}=\frac{15}{2}.$ 故 $S_4=\frac{15}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的基本量运算

核心方法：递推式同除 $a_n$ 化公比方程

避坑指南：$q^2+q-6=0$ 有两根 $q=2$，$q=-3$，公比 $q>0$ 的约束必须用上，否则会误取 $q=-3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列递推式化公比是基本量运算的快捷路径。

结论推广：$a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n⟺q^2+q=6$。

方法推广：求出 $q$ 后别忘了由 $a_2=1$ 回代 $a_1$，再套求和公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比
• 2011-辽宁卷文-05 单-等比数列公比符号