2007-重庆卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望。第一问要求解“获赔”的概率，采用对立事件（三辆车均未出事故）最为快捷；第二问需要精确确定获赔金额 $\xi$ 的所有可能取值，通过穷举每种获赔项对应的多变量独立交集情况，解出概率、列出分布列并求取期望值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 某单位有三辆汽车参加某种事故保险. 单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金. 对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 9000 元的赔偿 (假设每辆车最多只赔偿一次). 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 $\frac{1}{9}$、 $\frac{1}{10}$、 $\frac{1}{11}$，且各车是否发生事故相互独立. 求一年内该单位在此保险中：

(1) 获赔的概率；

(2) 获赔金额 $\xi$ 的分布列与期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设定独立事件基本量：

• 设三辆车在一年内发生事故的事件分别为 $A,B,C$。
• 对应概率为： $P(A)=\frac{1}{9},P(B)=\frac{1}{10},P(C)=\frac{1}{11}$。
• 三辆车不发生事故的对立概率为： $P(\overline{A})=\frac{8}{9},P(\overline{B})=\frac{9}{10},P(\overline{C})=\frac{10}{11}$。

2. 第一问（获赔概率）：

• “获赔”意味着至少有一辆车发生事故。
• 采用对立面思想：获赔的对立事件是“三辆车全部没有发生事故”。
• 计算 $P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$，用 1 减去该值。

3. 第二问（分布列与期望）：

• 获赔金额 $\xi$ 的可能取值取决于发生事故的车辆数。每辆车出事赔 9000 元： 0 辆车出事： $\xi =0$ 元； 1 辆车出事： $\xi =9000$ 元； 2 辆车出事： $\xi =18000$ 元； 3 辆车出事： $\xi =27000$ 元。

• 分别利用独立事件交集的概率计算出各个取值的概率，列出表格，代入期望公式 $E\xi =\sum x_i{P}_i$。

✅【答案】

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（1）设三辆汽车发生事故的事件分别为𝐴1，𝐴2，𝐴3，则𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)=89⋅910⋅10

✍【详细解析】

Abstract

解：设第一、二、三辆汽车在一年内发生此种事故的事件分别为 $A,B,C$。 由题意， 事件 $A,B,C$ 相互独立， 且概率分别为： $P(A)=\frac{1}{9},P(B)=\frac{1}{10},P(C)=\frac{1}{11}$ 对应的对立事件（不发生事故）的概率分别为： $P(\overline{A})=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9},P(\overline{B})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10},P(\overline{C})=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}$

（1）该单位“获赔”的对立事件是“三辆汽车在一年内均未发生此种事故”。 由于各车是否发生事故相互独立， 三辆车均未出事故的概率为： $P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})\cdot P(\overline{C})=\frac{8}{9}\times \frac{9}{10}\times \frac{10}{11}=\frac{8}{11}$ 所以， 该单位获赔的概率为： $P=1-P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=1-\frac{8}{11}=\frac{3}{11}$

（2）根据题意， 获赔金额 $\xi$ 的可能取值分别为： $0,9000,18000,27000$。 各个取值对应的古典独立概率计算如下：

• 当 $\xi =0$ 时， 即三辆车均未发生事故： $P(\xi =0)=P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=\frac{8}{11}$

• 当 $\xi =9000$ 时， 意味着恰有一辆车发生事故， 包含三种互斥情况： $P(\xi =9000)=P(A\overline{B}\overline{C})+P(\overline{A}B\overline{C})+P(\overline{A}\overline{B}C)$ $P(\xi =9000)=\left(\frac{1}{9}\times \frac{9}{10}\times \frac{10}{11}\right)+\left(\frac{8}{9}\times \frac{1}{10}\times \frac{10}{11}\right)+\left(\frac{8}{9}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{11}\right)$ $P(\xi =9000)=\frac{90}{990}+\frac{80}{990}+\frac{72}{990}=\frac{242}{990}=\frac{22}{90}=\frac{11}{45}$ (为了后续通分，可保留分母为 990 的形态： $\frac{242}{990}$)

• 当 $\xi =18000$ 时， 意味着恰有两辆车发生事故， 包含三种互斥情况： $P(\xi =18000)=P(AB\overline{C})+P(A\overline{B}C)+P(\overline{A}BC)$ $P(\xi =18000)=\left(\frac{1}{9}\times \frac{1}{10}\times \frac{10}{11}\right)+\left(\frac{1}{9}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{11}\right)+\left(\frac{8}{9}\times \frac{1}{10}\times \frac{1}{11}\right)$ $P(\xi =18000)=\frac{10}{990}+\frac{9}{990}+\frac{8}{990}=\frac{27}{990}$

• 当 $\xi =27000$ 时， 意味着三辆车全部发生事故： $P(\xi =27000)=P(ABC)=\frac{1}{9}\times \frac{1}{10}\times \frac{1}{11}=\frac{1}{990}$

(核校全概率和： $\frac{8\times 90}{990}+\frac{242}{990}+\frac{27}{990}+\frac{1}{990}=\frac{720+242+27+1}{990}=\frac{990}{990}=1$， 概率闭环正确)

将各分值统一约分简化， 随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	9000	18000	27000
$P$	$\frac{8}{11}$	$\frac{242}{990}$	$\frac{27}{990}$	$\frac{1}{990}$

根据数学期望的代数定义公式： $E\xi =0\times \frac{720}{990}+9000\times \frac{242}{990}+18000\times \frac{27}{990}+27000\times \frac{1}{990}$ $E\xi =\frac{9000\times 242+18000\times 27+27000\times 1}{990}$ $E\xi =\frac{2178000+486000+27000}{990}=\frac{2691000}{990}=\frac{269100}{99}=\frac{300\times 897}{11\times 9}=2718.18\dots$ 重新精密约分： $2178+486+27=2691$ $E\xi =\frac{2691000}{990}=\frac{269100}{99}$ 由于 $2691÷9=299$， $E\xi =\frac{29900}{11}\text{ 元}$

所以， 获赔金额 $\xi$ 的数学期望为 $\frac{29900}{11}$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件交集的概率乘法运算法则、对立事件化简、“恰有一辆/两辆”多事件分支全穷举、数学期望的大数约分。
2. 核心方法：正难则反正向分流法。
3. 避坑指南：

• 第二问在通分和约分时，强烈建议把所有分母统一保留为形如 $9\times 10\times 11=990$ 的未约分状态。在最后加总核对全概率和以及求期望时， 保持同分母可以大幅减少计算的出错概率。
• 注意：单位年初交的保险费（ $3\times 900=2700$）属于干扰背景，题目问的是“获赔金额 $\xi$”的分布列与期望，而不是“净收益”的期望， 故变量取值直接用 $9000$ 及其倍数即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率计算，是重庆卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（正难则反（对立事件转化法）、独立分情况穷举法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率计算相互关联，解答中综合运用了正难则反（对立事件转化法）、独立分情况穷举法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-湖南卷理-16 解-分布列
• 2008-天津卷理-18 解-分布列
• 2008-江西卷理-18 解-分布列