2007-重庆卷理-20 解-不等式恒成立问题

本题导读

本题考查导数的综合应用。第一问利用函数在 $x=1$ 处的极值点性质建立方程组求解常数 $a,b$；第二问通过对导函数求根分析单调区间；第三问将全域恒成立问题转化为求解函数绝对最小值的控制不等式，进而确定参数 $c$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 已知函数 $f(x)=a{x}^4\ln x+b{x}^4-c(x>0)$ 在 $x=1$ 处取得极值 $-3-c$，其中 $a,b,c$ 为常数.

(1) 试确定 $a,b$ 的值；

(2) 讨论函数 $f(x)$ 的单调区间；

(3) 若对任意 $x>0$，不等式 $f(x)\ge -2c^2$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 函数在 $x=1$ 处取得极值 $-3-c$，隐含两个代数刚性边界条件： $f(1)=-3-c$ 且 $f^{\prime }(1)=0$。
• 对原函数求导，代入 $x=1$ 的联立方程组可直接解出 $a,b$。

2. 第二问：

• 将第一问解出的 $a,b$ 带入导函数中，提取公因式并因式分解。
• 令 $f^{\prime }(x)=0$ 找出所有驻点，通过列表分析导函数在各开区间上的正负号确定其单调增、减区间。

3. 第三问：

• 由第二问的单调性可知，函数在全域内的唯一极小值点即为全局的绝对最小值点。

• 算出该绝对最小值 $f(x{)}_{\text{min}}$。

• 恒成立问题 $f(x)\ge -2c^2$ 等价于满足 $f(x{)}_{\text{min}}\ge -2c^2$，由此建立关于 $c$ 的一元二次不等式求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对原函数 $f(x)=a{x}^4\ln x+b{x}^4-c$ 进行求导，运用乘法导数法则： $f^{\prime }(x)=(4a{x}^3)\ln x+a{x}^4\cdot \frac{1}{x}+4b{x}^3=4a{x}^3\ln x+a{x}^3+4b{x}^3$ $f^{\prime }(x)=x^3(4a\ln x+a+4b)$

因为函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值 $-3-c$， 根据可导函数极值点的特征，必然满足： $\{\begin{array}{l}f(1)=-3-c\\ f^{\prime }(1)=0\end{array}$ 代入原函数与导函数表达式中： $\{\begin{array}{l}a\times 1^4\times \ln 1+b\times 1^4-c=-3-c\\ 1^3\times (4a\ln 1+a+4b)=0\end{array}$ 由于 $\ln 1=0$，方程组简化为： $\{\begin{array}{l}b-c=-3-c⟹b=-3\\ a+4b=0\end{array}$ 将 $b=-3$ 代入第二式中： $a+4\times (-3)=0⟹a=12$

所以， $a=12,b=-3$.

（2）将 $a=12,b=-3$ 代入原函数及其导函数中： $f(x)=12x^4\ln x-3x^4-c$ $f^{\prime }(x)=x^3(48\ln x+12-12)=48x^3\ln x$

因为定义域大前提为 $x>0$，所以 $48x^3>0$ 恒成立。 导函数 $f^{\prime }(x)=48x^3\ln x$ 的正负号完全由对数项 $\ln x$ 决定：

• 令 $f^{\prime }(x)>0⟹\ln x>0⟹x>1$；
• 令 $f^{\prime }(x)<0⟹\ln x<0⟹0<x<1$.

由此可确定函数 $f(x)$ 的单调区间为：

• 单调递减区间： $(0,1)$；
• 单调递增区间： $(1,+\infty )$.

（3）由（2）可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，在区间 $(1,+\infty )$ 上单调递增。 因此，当 $x=1$ 时，函数 $f(x)$ 在定义域上取得全局绝对最小值： $f(x{)}_{\text{min}}=f(1)=-3-c$

要使对任意的 $x>0$，不等式 $f(x)\ge -2c^2$ 均恒成立， 其充要条件是函数的绝对最小值必须大于或等于下界目标值： $f(x{)}_{\text{min}}\ge -2c^2$ 代入具体数值建立关于 $c$ 的不等式： $-3-c\ge -2c^2⟹2c^2-c-3\ge 0$

对左侧二次三项式进行十字相乘因式分解： $(2c-3)(c+1)\ge 0$ 根据“大于取两边”的一元二次不等式解法规律，解得： $c\le -1\text{或}c\ge \frac{3}{2}$

所以， $c$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1]\cup \left[\frac{3}{2},+\infty \right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数乘法运算法则、极值特征联立方程组、全域最值（极小值即最小值）向恒成立不等式的数学模型转化。
2. 核心方法：最值化剪放缩法。
3. 避坑指南：

• 第一问求导时，千万注意 $x^4\ln x$ 是复合乘积结构，必须严格套用 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 展开，不能漏掉对数求导后与幂函数约分产生的 $a{x}^3$ 项。

• 第三问解不等式时，注意开口向上大于等于 0 对应取两边区域，不要把区间范围的闭区间符号（方括号）错写成开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自高中数学选修2-2导数大题的经典压轴构型，主要考查基本求导基本功与最值控制。

2. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=A{x}^n\ln x+B{x}^n+C$ 的函数，其导函数的根一律固定收敛在对数项的零点平移处，具有极强的对称性与极值唯一性特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系