2011-广东卷理-12 填-导数应用

本题导读

本题考查导数的几何与代数应用，以及利用导数求函数的极值。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 函数 $f(x)=x^3-3x^2+1$ 在 $x=$ $\underline{}$处取得极小值.

🔍【思路分析】

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1. 求函数的一阶导数 $f^{\prime }(x)$。
2. 令 $f^{\prime }(x)=0$ 求出驻点。
3. 列表或利用导数符号判断单调性变化，确定极小值点。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

对函数求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=2$。 当 $x<0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$； 当 $0<x<2$ 时，$f^{\prime }(x)<0$； 当 $x>2$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。 因此，$f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty )$ 上单调递增。 故函数在 $x=2$ 处取得极小值。 故答案为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：可导函数在极值点两侧导数符号“先负后正为极小值”。
• 核心方法：导数穿针引线法确定符号区间。
• 避坑指南：题目问的是取得极小值时的自变量“$x$”，切勿误算成极小值 $f(2)=-3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：微分学中费马引理及一阶充分条件的经典应用。
• 结论推广：三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a>0$) 在驻点中较大的根处取得极小值，在较小的根处取得极大值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-20 解-函数极值
• 2007-重庆卷理-20 解-不等式恒成立问题
• 2008-大纲卷II文-21 解-三次函数极值与最值恒成立