2007-陕西卷文-04 单-同角关系平方差

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及平方差因式分解。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 已知 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha$ 的值为 ()

A. $-\frac{3}{5}$　　　　　　B. $-\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{5}$　　　　　　D. $\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ 得 ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$。
2. ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{4}{5}$。
3. ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$，得 ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$，从而 ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{4}{5}$． 利用平方差公式， ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角关系平方差

核心方法：${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =2{\sin }^2\alpha -1$

避坑指南：平方差分解后 $({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=1$ 直接消掉；结果 $-\frac{3}{5}$ 是负的，别丢掉符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于同角三角函数基本关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 与平方差公式的结合

结论推广：一般化：${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha ={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =1-2{\cos }^2\alpha =2{\sin }^2\alpha -1$，可降次到一次

方法推广：四次式用平方差降到二次，再用同角关系降到一次；${\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =-\cos 2\alpha$ 也可用倍角

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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