2009-陕西卷文-02 单-弦化切求值

本题导读

考查弦化切。原式 $=\frac{2\tan \alpha -1}{\tan \alpha +2}=\frac{4-1}{2+2}=\frac{3}{4}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 若 $\tan \alpha =2$，则 $\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +2\cos \alpha }$ 的值为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{5}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同除以 $\cos \alpha$。
2. 原式 $=\frac{2\tan \alpha -1}{\tan \alpha +2}$。
3. 代入 $\tan \alpha =2$：$\frac{4-1}{2+2}=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同除以 $\cos \alpha$，得 $\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +2\cos \alpha }=\frac{2\tan \alpha -1}{\tan \alpha +2}=\frac{2\times 2-1}{2+2}=\frac{3}{4}.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：齐次式化正切求值

核心方法：分子分母同除以 $\cos \alpha$

避坑指南：只有”齐次”分式才能直接弦化切；本题分子分母均为 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的一次式，满足条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\tan \alpha$ 已知时，一切 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的齐次分式都可化为 $\tan \alpha$ 的函数。

结论推广：二次齐次式可除以 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 同样化切，如 ${\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha$ 型。

方法推广：符号预判：$\tan \alpha =2$ 时原式为正且小于 $1$，可直接排除三个选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-08 单-同角三角齐次式
• 2009-北京卷文-09 填-同角三角求值
• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2011-广东卷文-16 解-三角求值