2007-陕西卷文-17 解-向量数量积与三角最值

本题导读

本题考查向量数量积的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$，其中向量 $\vec{a}=(m,\cos x)$，$\vec{b}=(1+\sin x,1)$，$x\in \mathbf{R}$，且 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2$． （1）求实数 $m$ 的值； （2）求函数 $f(x)$ 的最小值．

🔍【思路分析】

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1. 数量积：$f(x)=m(1+\sin x)+\cos x$。
2. 由 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=m(1+1)+0=2m=2$，得 $m=1$。
3. $f(x)=1+\sin x+\cos x=1+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，最小值为 $1-\sqrt{2}$。

✅【答案】

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（1）$m=1$；（2）$1-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由向量数量积的坐标运算，得 $f(x)=m(1+\sin x)+\cos x$． 又 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=m(1+1)+\cos \frac{\pi }{2}=2m=2$，故 $m=1$． （2）由（1）得 $f(x)=1+\sin x+\cos x=1+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$． 因 $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$，故 $f(x)\ge 1-\sqrt{2}$，且当 $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$ 时等号成立． 因此 $f(x)$ 的最小值为 $1-\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与三角最值

核心方法：$f(x)=m(1+\sin x)+\cos x$，由 $f(\pi /2)=2m=2$ 得 $m=1$，$f(x)=1+\sqrt{2}\sin (x+\pi /4)$

避坑指南：$f(\pi /2)$ 代入时 $\cos (\pi /2)=0$，只剩 $2m$；辅助角 $a\sin x+b\cos x$ 的幅值是 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}$，最小 $1-\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于向量数量积与三角恒等变换的结合，教材”平面向量的数量积”综合题

结论推广：一般化：$a\sin x+b\cos x$ 可用辅助角化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 求最值

方法推广：数量积算出的三角式用辅助角公式合一，$f_{\min }=1-\sqrt{2}$ 是”常数+辅助角幅值”型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2009-陕西卷文-17 解-三角解析式与最值
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2012-陕西卷文-17 解-三角函数解析式与求角