2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值

本题导读

本题考查平面向量的数量积。核心在于降幂公式、辅助角公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=\left(\cos x,-\frac{1}{2}\right)$，$\vec{b}=(\sqrt{3}\sin x,\cos 2x)$，$x\in \mathbf{R}$，设函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$.

(1)求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)求 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=\sqrt{3}\sin x\cos x-\frac{1}{2}\cos 2x$。
2. 降幂：$\sqrt{3}\sin x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ → $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。
3. $T=\pi$。
4. $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ → $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ → $\sin$ 取到 $1$（$2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{3}$）与 $-\frac{1}{2}$（$x=0$）。

✅【答案】

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(1)$\pi$；(2)最大值 $1$，最小值 $-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由数量积的坐标表示： $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos x\cdot \sqrt{3}\sin x+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \cos 2x=\sqrt{3}\sin x\cos x-\frac{1}{2}\cos 2x.$ 由二倍角公式 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，得 $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x.$ 用辅助角公式合并（振幅 $A=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=1$，$\phi$ 满足 $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin \phi =-\frac{1}{2}$，取 $\phi =-\frac{\pi }{6}$）： $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right).$ 故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi .$ （2） 由 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 得 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right].$ 在该区间上，$\sin$ 在 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$（即 $x=\frac{\pi }{3}$）时取到最大值 $1$，在左端点 $2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$（即 $x=0$）时取到最小值 $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$。 所以 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量数量积与三角函数的周期、最值

核心方法：$f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{3}\sin x\cos x-\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$；$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；$x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ → 最大 $1$，最小 $-\frac{1}{2}$

避坑指南：降幂 + 辅助角一步到位：$\sqrt{3}\sin x\cos x$ 用倍角化 $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$，$-\frac{1}{2}\cos 2x$ 保持；合并时辅助角 $\phi$ 满足 $\tan \phi =\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 取 $-\frac{\pi }{6}$。求最值要算清角的范围（$-\frac{\pi }{6}$ 到 $\frac{5\pi }{6}$），端点 $-30^{\circ }$ 处 $\sin$ 为 $-\frac{1}{2}$，别把最小值当成 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与三角恒等变换（$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 型）。

结论推广：数量积坐标公式；降幂与辅助角公式；整体代换求最值。

方法推广：算数量积 → 化 $A\sin (\omega x+\phi )$ → 由 $x$ 范围定角的范围 → 取最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2014-安徽卷文-10 单-向量数量积