2007-陕西卷理-01 单-复数几何意义

本题导读

本题考查复数的代数运算与几何意义。通过共轭复数将分母实数化，确定其在复平面内对应点的象限。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 在复平面内，复数 $z=\frac{1}{2+\text{i}}$ 对应的点位于()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 分子与分母同乘以 $2-\text{i}$，将复数 $z$ 化为标准代数形式 $a+b\text{i}$。

2. 根据实部 $a>0$ 且虚部 $b<0$ 判定点在第四象限。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{1}{2+\text{i}}=\frac{2-\text{i}}{(2+\text{i})(2-\text{i})}=\frac{2-\text{i}}{4-{\text{i}}^2}=\frac{2-\text{i}}{5}=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\text{i}$ 该复数对应的点为 $\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{5}\right)$，位于第四象限． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法运算，复平面象限的代数特征。

2. 核心方法：分母实数化。

3. 避坑指南：牢记 ${\text{i}}^2=-1$，避免分母计算写成 $4-1=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材复数除法基本运算法则的直接应用。

5. 结论推广：形如 $z=\frac{1}{a+b\text{i}}(a,b\ne 0)$ 的复数，其对应点与共轭复数 $a-b\text{i}$ 对应的点位于同一象限。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-01 单-复数运算