2007-陕西卷理-08 单-函数图象平移变换

本题导读

本题考查反函数的几何性质及函数图象的平移变换。通过分析原函数与反函数平移后的对称轴变化规律，考查识图与空间位置逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 若函数 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$，则函数 $f(x-1)$ 与 $f^{-1}(x-1)$ 的图象可能是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找对称规律：明确互为反函数的两个函数 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称。

2. 跟踪平移变换：$y=f(x-1)$ 与 $y=f^{-1}(x-1)$ 均由原图象向右平移 1 个单位得到，故其对称轴随之向右平移 1 个单位，变为直线 $y=x-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称， 将两个图象同时向右平移 1 个单位，得到 $y=f(x-1)$ 与 $y=f^{-1}(x-1)$ 的图象， 此时它们的对称轴也向右平移 1 个单位，变为直线 $y=x-1$． 设 $f(x)=a^x(a>1)$，则 $f^{-1}(x)={\log }_{a}x$． 此时 $f(x-1)=a^{x-1}$，其图象单调递增，且经过点 $(1,1)$，与 $y$ 轴的交点为 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$．由于 $a>1$，该交点纵坐标在 $(0,1)$ 之间． $f^{-1}(x-1)={\log }_a(x-1)$，其图象单调递增，具有垂直渐近线 $x=1$，且与 $x$ 轴的交点为 $(2,0)$． 观察各选项图象，只有 A 选项中两曲线关于 $y=x-1$ 对称，且完全符合对应交点坐标规律． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的对称本质，几何图形整体平移对对称轴的联动影响。

2. 核心方法：对称特征规律法，具体函数（指数与对数）代入排除法。

3. 避坑指南：易误认为反函数平移后仍关于 $y=x$ 对称，需注意整体位移的同步性。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中反函数概念图象性质的变形，属于利用几何变换考查抽象函数性质的经典能力题。

5. 结论推广：若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 关于直线 $y=kx+b$ 对称，则当二者同时施加平移向量 $\vec{m}=(h,v)$ 时，变换后的新函数图象所对应的对称轴方程同样施加平移变换变为 $y-v=k(x-h)+b$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-06 单-椭圆定义与性质