2007-陕西卷理-09 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查逻辑命题的真伪判定，涵盖等比数列的充要条件、不等式性质以及复合函数的奇偶性，侧重基础概念的精准辨析与反例构造能力。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 给出如下三个命题： ① 四个非零实数 $a,b,c,d$ 依次成等比数列的充要条件是 $ad=bc$； ② 设 $a,b\in \mathbf{R}$，且 $ab\ne 0$，若 $\frac{a}{b}<1$，则 $\frac{b}{a}>1$； ③ 若 $f(x)={\log }_{2}x$，则 $f(|x|)$ 是偶函数． 其中不正确的序号是()

A. ①②③　　　　　　B. ①②　　　　　　C. ②③　　　　　　D. ①③

🔍【思路分析】

破题导航

1. 命题①：考虑等比数列的定义，构造成等比例但项不交错的反例来检验充要条件。

2. 命题②：利用正负数符号的不确定性，通过引入异号实数构造反例打破常规不等式推理。

3. 命题③：写出复合函数解析式，通过定义域的对称性与自变量取反后的函数值相等性判定奇偶性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对于①：若取 $a=1,b=2,c=2,d=4$，满足 $ad=bc=4$，但数列 $1,2,2,4$ 显然不是等比数列，必要性不成立，故①错误； 对于②：若取 $a=-2,b=1$，满足 $\frac{a}{b}=-2<1$，但 $\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}<1$，未满足 $\frac{b}{a}>1$，故②错误； 对于③：令 $g(x)=f(|x|)={\log }_2|x|$，定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$ 关于原点对称，且满足 $g(-x)={\log }_2|-x|={\log }_2|x|=g(x)$，完全符合偶函数定义，故③正确． 综上所述，不正确的命题序号是①②． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件的逻辑判定，不等式两边同取倒数的符号改变规律，偶函数的代数定义。

2. 核心方法：反例否定法（处理全称命题为假时的最快手段）。

3. 避坑指南：①中易盲目套用等比中项的局部性质而忽视等比数列公比需恒定的整体要求；②中极易因思维定势忽略负数的存在导致判断失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题是由高中数学代数板块中多个极易混淆的核心主干概念重组而成的综合辨析题，旨在评估学生思维的严谨度。

5. 结论推广：对于非零数列，四个数成等比数列的充要条件是 $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}$；对于倒数不等式，只有在 $a,b$ 同号的条件下，$\frac{a}{b}<1$ 才能必然推导出其对应对偶形式的成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.02 等比数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-03 单-量词命题