2015-陕西卷理-09 单-对数函数

本题导读

本题考查对数函数的运算性质、单调性以及基本不等式的应用。通过对三个变量进行代数变形，将其转化为对数函数内部自变量的大小比较。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 设 $f(x)=\ln x$，$0<a<b$.若 $p=f(\sqrt{ab})$，$q=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，$r=\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$，则下列关系式中正确的是 ()

A. $q=r<p$　　B. $q=r>p$　　C. $p=r<q$　　D. $p=r>q$

🔍【思路分析】

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1. 代数变形：首先将 $p,q,r$ 中的函数符号 $f$ 替换为 $\ln$，并利用对数运算性质 $\frac{1}{2}\ln x=\ln \sqrt{x}$ 和 $\ln a+\ln b=\ln ab$ 对 $r$ 进行化简。
2. 比较 $p$ 与 $r$：观察化简后的结果，判断 $p$ 与 $r$ 的代数式是否相同。
3. 比较自变量大小：利用基本不等式 $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$（当 $a\ne b$ 时）比较内部自变量的大小。
4. 利用单调性得出结论：利用 $f(x)=\ln x$ 在其定义域内的单调递增性，确定函数值的大小关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简 $p,q,r$ 的表达式 根据 $f(x)=\ln x$，代入各变量：

• $p=f(\sqrt{ab})=\ln \sqrt{ab}$
• $q=f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)$
• $r=\frac{1}{2}(f(a)+f(b))=\frac{1}{2}(\ln a+\ln b)=\frac{1}{2}\ln (ab)=\ln (ab{)}^{\frac{1}{2}}=\ln \sqrt{ab}$

易知有：$p=r$。

第二步：比较 $p$ 与 $q$ 的大小 比较 $p$ 与 $q$ 相当于比较自变量 $\sqrt{ab}$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 的大小。 已知 $0<a<b$，根据基本不等式（算术平均数与几何平均数的关系）： $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$ （注：由于 $a\ne b$，等号不成立）

第三步：利用单调性判断 函数 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上是单调递增函数。 因为 $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$， 所以 $f(\sqrt{ab})<f\left(\frac{a+b}{2}\right)$， 即 $p<q$。

结论：综合上述分析得 $p=r<q$。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数运算性质 $\ln a+\ln b=\ln (ab)$；基本不等式 $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$；对数函数的单调性。
• 核心方法：等价转化法。将复杂的函数值比较转化为函数内部自变量的比较。
• 避坑指南：
  1. 公式记混：误认为 $\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$ 等于 $f(\frac{a+b}{2})$，实际上这是两个不同的数学概念（前者与凹凸性有关）。
  2. 等号条件：本题中明确 $a<b$，因此基本不等式的等号一定不能取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于凸函数 $f(x)$（如 $\ln x$），有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$（琴生不等式）。本题 $q>r$ 正好符合对数函数的凸性特征。 *方法推广: 比较多个数的大小，常用的方法有：作差法、作商法、中介值法（如与 0 或 1 比较）、函数单调性法。

• 相关知识点：幂运算性质、凹凸函数定义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

• 2013年陕西卷理-9
• 2012年陕西卷理-9
• 2007-陕西卷理-09 单-函数奇偶性