2007-陕西卷理-18 解-用空间向量求二面角

本题导读

本题考查空间线面垂直的判定以及二面角的向量求法。核心在于通过直角梯形与直四棱锥的垂直特性建立空间直角坐标系，将空间几何的位置关系与夹角问题转化为代数向量运算。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AD\parallel BC,\angle ABC=90^{\circ },PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=3,AD=3,BC=1,AB=\sqrt{3}$．

(1) 求证：$BD\perp$ 平面 $PAC$；

(2) 求二面角 $A-PC-D$ 的余弦值．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：以 $A$ 为原点，分别以 $AB,AD,PA$ 所在的直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。计算向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 的数量积证明其垂直，再结合 $PA\perp BD$ 证明线面垂直。

2. 第二问：利用平面 $PAC$ 的法向量与平面 $PCD$ 的法向量，通过法向量的夹角公式计算二面角 $A-PC-D$ 的余弦值。

✅【答案】

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（1）该选手顺利通过三轮考核的概率为14⋅35⋅25=

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AD\parallel BC$， 所以 $AB,AD,PA$ 两两互相垂直． 以 $A$ 为坐标原点，以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{PA}$ 的方向 leg 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$． 依题意可得各点坐标为： $A(0,0,0),B(\sqrt{3},0,0),C(\sqrt{3},1,0),D(0,3,0),P(0,0,3)$． 则 $\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3},1,0)$，$\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{3},3,0)$． 因为 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\sqrt{3}\times (-\sqrt{3})+1\times 3+0\times 0=-3+3=0$， 所以 $BD\perp AC$． 又因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$BD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $PA\perp BD$． 因为 $AC\cap PA=A$，且 $AC,PA\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$．

(2) 解： 由 (1) 可知，$BD\perp$ 平面 $PAC$， 故平面 $PAC$ 的一个法向量可取为 $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{3},3,0)$． 设平面 $PCD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$． 易知 $\overrightarrow{PD}=(0,3,-3)$，$\overrightarrow{CD}=(-\sqrt{3},2,0)$． 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{CD}=0\end{array}$ 得 $\{\begin{array}{l}3y-3z=0\\ -\sqrt{3}x+2y=0\end{array}$， 令 $y=\sqrt{3}$，解得 $z=\sqrt{3},x=2$， 故 $\overrightarrow{n_2}=(2,\sqrt{3},\sqrt{3})$． 设二面角 $A-PC-D$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角， 则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|-\sqrt{3}\times 2+3\times \sqrt{3}+0|}{\sqrt{(-3{)}^2+3^2}\times \sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times \sqrt{10}}=\frac{1}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{20}$． 所以，二面角 $A-PC-D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{20}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角坐标系的构建，线面垂直的向量化证明，平面法向量的求解与二面角夹角计算。

2. 核心方法：建系坐标化法，双法向量夹角变形。

3. 避坑指南：在第 (1) 问中，利用向量证明线面垂直时，切勿漏掉阐述 $PA\perp BD$ 以及“两条相交直线”这两个核心关键步骤；第 (2) 问求得法向量夹角后需结合图形确定二面角的实际钝锐性。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中关于立体几何“四棱锥与直角梯形底面”的经典组合模型，是历年高考大题中利用空间向量手段解决立体几何面面角问题的标准范式。

5. 结论推广：在底面为直角梯形 $ABCD$（$\angle B=90^{\circ },AD\parallel BC$）且侧棱 $PA\perp$ 底面的四棱锥中，若满足 $A{B}^2=BC\cdot AD$，则必有 $BD\perp AC$，进而推导出 $BD\perp$ 平面 $PAC$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II理-19 解-二面角