2008-上海卷理-14 单-等比数列

本题导读

本题考查无穷递缩等比数列的求和问题。核心在于运用求和公式建立关于参数的方程，并严格利用公比的收敛范围对多解进行去伪存真。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 若数列 $\{a_n\}$ 是首项为 1，公比为 $a-\frac{3}{2}$ 的无穷等比数列，且 $\{a_n\}$ 各项的和为 $a$，则 $a$ 的值是 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{5}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 根据无穷等比数列各项和存在的条件，确定公比满足 $|q|<1$，从而得出 $a$ 的取值范围。
2. 利用无穷递缩等比数列求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 列出关于 $a$ 的方程，求出解后进行范围比对。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据无穷等比数列各项和存在的充要条件，公比 $q$ 必须满足 $|q|<1$。 由题意得：$\left|a-\frac{3}{2}\right|<1⟹\frac{1}{2}<a<\frac{5}{2}$。 利用无穷等比数列求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 可得： $a=\frac{1}{1-\left(a-\frac{3}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{5}{2}-a}=\frac{2}{5-2a}$ 两边同乘 $5-2a$ 展开得： $5a-2a^2=2⟹2a^2-5a+2=0$ 因式分解得：$(2a-1)(a-2)=0$，解得 $a=\frac{1}{2}$ 或 $a=2$。 结合收敛条件 $\frac{1}{2}<a<\frac{5}{2}$，舍过临界点 $a=\frac{1}{2}$，故 $a=2$ 满足题意。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无穷递缩等比数列求和公式、极限收敛区间。
2. 核心方法：方程法与边界限定法。
3. 避坑指南：本题极易由于忽视无穷等比数列求和的前提条件（公比绝对值严格小于 1），在解出二次方程的两个根后，误将 $\frac{1}{2}$ 也保留下来，导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于苏教版、沪教版等老教材中关于“极限与无穷级数”的经典求和练习题。
2. 结论推广: 设无穷等比数列首项为 1，各项和为 $S$，则其公比为 $1-\frac{1}{S}$。由于公比满足 $\left|1-\frac{1}{S}\right|<1$，解得该和数 $S$ 必须满足 $S>\frac{1}{2}$ 且 $S\ne 1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和