2008-上海卷理-21 解-等比数列

本题导读

本题是一道构思精巧的分段数列压轴大题。核心考查对分段函数式递推规则的深度剖析，通过前几项的迭代发现数列在跨越临界值 3 后的周期与等比衰减规律，深度检验逻辑推理与严谨的代数计算功底。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 已知以 $a_1$ 为首项的数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+c,& a_n<3\\ \frac{a_n}{d},& a_n\ge 3\end{array}$.

(1)当 $a_1=1,c=1,d=3$ 时，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)当 $0<a_1<1,c=1,d=3$ 时，试用 $a_1$ 表示数列 $\{a_n\}$ 的前 100 项的和 $S_{100}$；

(3)当 $0<a_1<\frac{1}{m}$（$m$ 是正整数），$c=\frac{1}{m}$，正整数 $d\ge 3m$ 时，求证：数列 $a_2-\frac{1}{m},a_{3m+2}-\frac{1}{m},a_{6m+2}-\frac{1}{m},a_{9m+2}-\frac{1}{m}\dots$ 成等比数列当且仅当 $d=3m$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：将 $a_1=1$ 带入规则，前几项依次加 1 直到大于等于 3，触发第二段除以 3，从而形成循环或规律性的变化，据此写出分段通项。
2. 第二问：由于 $0<a_1<1,c=1$，各项依次加 1：$a_2=a_1+1,a_3=a_1+2,a_4=a_1+3$。由于 $a_1+3\ge 3$，此时第 5 项触发除以 3，得到 $a_5=\frac{a_1+3}{3}=\frac{a_1}{3}+1$，自此除第一项外，后续每 3 项构成一个局部退化与循环，采用周期分组及等比数列求和计算。
3. 第三问：需要严格证明“当且仅当”，即充分性与必要性双向论证。模仿第二问的步数累加，在步长为 $m$ 的倍数时观察规律。第一阶段加 $c=\frac{1}{m}$ 直到项数跨过 3，触发除以 $d$。建立相邻提取项的递推等式，令其比值为常数解出 $d=3m$。

✅【答案】

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所以𝑎9𝑚+2 −1𝑚> 0

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)当 $a_1=1,c=1,d=3$ 时，依次迭代计算： $a_1=1<3⟹a_2=1+1=2<3$ $a_2=2<3⟹a_3=2+1=3\ge 3$ $a_3=3\ge 3⟹a_4=\frac{3}{3}=1$ 由此可见，从第 4 项开始，数列进入周期为 3 的循环，即 $a_4=a_1=1,a_5=a_2=2,a_6=a_3=3$。 由于对任意 $n\in {\mathbf{Z}}^{+}$，$n$ 除以 3 的余数决定其具体取值， 故通项公式为：$a_n=\{\begin{array}{ll}1,& n=3k-2\\ 2,& n=3k-1\\ 3,& n=3k\end{array}$ （其中 $k\in {\mathbf{Z}}^{+}$）。

(2)当 $0<a_1<1,c=1,d=3$ 时，计算前几项： $a_2=a_1+1$ $a_3=a_1+2$ $a_4=a_1+3$ 因为 $0<a_1<1$，所以 $3<a_4<4\ge 3$，下一项触发除以 3： $a_5=\frac{a_1+3}{3}=\frac{a_1}{3}+1$ 继续迭代： $a_6=a_5+1=\frac{a_1}{3}+2$ $a_7=a_6+1=\frac{a_1}{3}+3$ 由于 $3<a_7<4$，同理触发除以 3 得：$a_8=\frac{\frac{a_1}{3}+3}{3}=\frac{a_1}{3^2}+1$。 观察发现，除了 $a_1$ 外，后面的项每 3 项可以归为一组： 第 $k$ 组（$k=1,2,\dots ,33$）的三项为： $a_{3k-1}=\frac{a_1}{3^{k-1}}+1,a_{3k}=\frac{a_1}{3^{k-1}}+2,a_{3k+1}=\frac{a_1}{3^{k-1}}+3$ 这一组的三项之和为 $3\cdot \frac{a_1}{3^{k-1}}+6=\frac{a_1}{3^{k-2}}+6$。 由于总共求前 100 项的和，即 $S_{100}=a_1+{\sum }_{k=1}^{33}(a_{3k-1}+a_{3k}+a_{3k+1})$： $S_{100}=a_1+{\sum }_{k=1}^{33}\left(\frac{a_1}{3^{k-2}}+6\right)=a_1+3a_1{\sum }_{k=1}^{33}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-1}+6\times 33$ $S_{100}=a_1+3a_1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{33}}{1-\frac{1}{3}}+198=a_1+\frac{9}{2}{a}_1\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{33}\right]+198=\left[\frac{11}{2}-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{31}\right]a_1+198$

(3)证明： 由条件 $0<a_1<\frac{1}{m},c=\frac{1}{m}$ 递推： $a_2=a_1+\frac{1}{m}$ $a_3=a_2+\frac{1}{m}=a_1+\frac{2}{m}$ $\dots$ $a_{3m+1}=a_1+\frac{3m}{m}=a_1+3$ 因为 $0<a_1<\frac{1}{m}$，所以 $3<a_{3m+1}<3+\frac{1}{m}$。 接下来第 $3m+2$ 项触发除以 $d$： $a_{3m+2}=\frac{a_{3m+1}}{d}=\frac{a_1+3}{d}$ 同理继续累加 $3m$ 次： $a_{6m+1}=a_{3m+2}+\frac{3m}{m}=\frac{a_1+3}{d}+3$ 再触发除以 $d$： $a_{6m+2}=\frac{\frac{a_1+3}{d}+3}{d}=\frac{a_1+3}{d^2}+\frac{3}{d}$ 以此类推，记所研究数列的第 $n$ 项为 $x_n=a_{3(n-1)m+2}-\frac{1}{m}$ ($n=1,2,\dots$)。 由上述可知： $x_1=a_2-\frac{1}{m}=a_1$ $x_2=a_{3m+2}-\frac{1}{m}=\frac{a_1+3}{d}-\frac{1}{m}=\frac{a_1}{d}+\frac{3}{d}-\frac{1}{m}$ $x_3=a_{6m+2}-\frac{1}{m}=\frac{a_1+3}{d^2}+\frac{3}{d}-\frac{1}{m}=\frac{a_1}{d^2}+\frac{3}{d^2}+\frac{3}{d}-\frac{1}{m}$ 依此类推，可得递推关系式：$x_{n+1}=\frac{1}{d}{x}_n+\left(\frac{3}{d}-\frac{1}{m}\right)$。 要使数列 $\{x_n\}$ 构成等比数列，其充要条件是递推式中的常数项为 0， 即 $\frac{3}{d}-\frac{1}{m}=0⟺d=3m$。 由于已知 $d\ge 3m$ 为正整数，当且仅当 $d=3m$ 时，常数项恰好抵消，此时 $x_{n+1}=\frac{1}{3m}{x}_n$，该数列成等比数列。 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段非线性递推数列、分组分组求和技巧、等比数列的充要条件判定。
2. 核心方法：构造周期性迭代链，通过设不齐次的一阶递推式 $x_{n+1}=p{x}_n+q$，明确只有当 $q=0$ 时，原数列本身才是严格的等比数列。
3. 避坑指南：

• 第二问求和时极易把第一项 $a_1$ 直接混入等比公式，必须将其剥离，因为等比规律从第 2 项才真正开始体现；
• 第三问证明“当且仅当”时，必须保证每一步递推中所得到的范围（如 $3<a_{3m+1}<3+\frac{1}{m}$）确实精准落在触发第二段的范围内，利用已知 $d\ge 3m\ge 3$ 确保每一步的单调除法动作不发生错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题原型取自近代动力系统中的“分段线性映射”与“一维轨道收敛性”。通过设定门槛值 3，使函数轨迹不断发生加减与折叠（类似于不动点迭代）。
2. 结论推广: 对于分段规则 $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+c,& a_n<M\\ \frac{a_n}{d},& a_n\ge M\end{array}$，若起始状态能在恰好步长后跨越临界点 $M$，则在合适的分组提取下，新提取的子序列将呈现出以 $\frac{1}{d}$ 为公比的准等比收敛特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和