2008-四川卷文-10 单-线面角共点直线计数

本题导读

$|u_3|=\frac{1}{2}$、$|u_1|=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow$ $u_2=0$；$u_3=\pm \frac{1}{2}$ 给两条不同直线.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 设直线 $l\subset$ 平面 $\alpha$，过平面 $\alpha$ 外一点 $A$ 与 $l$，$\alpha$ 都成 $30^{\circ }$ 角的直线有且只有()

A. 1 条　　　　　B. 2 条　　　　　C. 3 条　　　　　D. 4 条

🔍【思路分析】

破题导航

设方向向量 $u=(u_1,u_2,u_3)$，$u_3$ 沿 $\alpha$ 的法向、$l$ 沿第一坐标轴：两个”成 $30^{\circ }$ 角”条件把三个分量全锁死，只剩 $u_3$ 的正负号一个自由度.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

取单位方向向量 $u=(u_1,u_2,u_3)$，其中 $u_3$ 沿平面 $\alpha$ 的法向，且取 $l$ 的方向为第一个坐标轴．直线与平面 $\alpha$ 成 $30^{\circ }$ 角，故 $|u_3|=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$；直线与 $l$ 成 $30^{\circ }$ 角，故 $|u_1|=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$．由 $u_1^2+u_2^2+u_3^2=1$，得 $u_2=0$．取 $u_1>0$ 消去方向相反的重复表示后，$u_3=\frac{1}{2}$ 或 $u_3=-\frac{1}{2}$，对应两条不同的直线．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与平面所成的角

核心方法：方向向量分量法：两个角条件锁死 $|u_1|$、$|u_3|$，$u_2$ 自由度归零

避坑指南：与 $l$、$\alpha$ 都成 $30^{\circ }$ 的直线不在面内也不垂直——$u_3=\pm \frac{1}{2}$ 是关于 $OP$ 对称的两条，只数 1 条或 4 条都错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共点直线计数（与定直线、定平面成等角），空间想象力考题

结论推广：与 $l$、$\alpha$ 都成 $\theta$ 角的直线：$\sin \theta$ 沿法向、$\cos \theta$ 沿 $l$ 向，自由度决定条数

方法推广：方向向量法把”数直线”变成”解方程定分量”，对称位置按符号计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2006-四川卷理-10 单-三维空间直角三角形求角
• 2016-四川卷理-13
• 2015-四川卷理-18 解-正方体展开