2015-四川卷理-18 解-正方体展开

本题导读

本题是立体几何综合大题。第一问考查三维想象能力，通过正方体展开图还原顶点位置；第二问考查线面平行的证明，核心在于寻找面内的平行线；第三问考查二面角的余弦值，可以通过传统几何法找平面角，也可以建立坐标系利用法向量求解。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 $BC$ 的中点为 $M$，$GH$ 的中点为 $N$.

(1) 请将字母 $F,G,H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

(2) 证明：直线 $MN//$ 平面 $BDH$；

(3) 求二面角 $A-EG-M$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 还原折叠：观察展开图，以正方形 $ABCD$ 为底面。$E$ 与 $A$ 相连，$F$ 与 $B$ 相连。折叠后，$A,B,C,D$ 构成下底面，则 $E,F,G,H$ 应对应上底面的顶点。
   • 邻接关系：展开图中 $E-A-B-F$ 在一线上，$D-C-G$ 在一线上。折叠后 $E$ 在 $A$ 上方，$F$ 在 $B$ 上方，$G$ 在 $C$ 上方，$H$ 在 $D$ 上方。
2. 第二问思路：
   • 线线平行推线面平行：要证 $MN//$ 平面 $BDH$，只需在平面 $BDH$ 内找一条直线与 $MN$ 平行。
   • 中点转化：设 $O$ 为 $BD$ 的中点。连接 $OH$。由于 $M,N$ 是中点，考虑构造平行四边形 $MNHO$。利用中位线性质证明 $MN//OH$。
   3. 第三问思路：
   • 几何法：寻找二面角 $A-EG-M$ 的平面角。过 $A$ 作 $EG$ 的垂线（由于 $AE\perp AG$，在正方体中 $A$ 在 $EG$ 上的投影是中点），利用三垂线定理寻找夹角。
   • 坐标法（推荐）：以 $D$ 为原点，$DA,DC,DH$ 为轴建立空间直角坐标系。求出平面 $AEG$（即平面 $ADHE$）的法向量 $\overrightarrow{n_1}$ 和平面 $EGM$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$，利用公式 $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}$ 求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

（I）标记顶点位置

根据正方体展开图的邻接关系，折叠后各顶点对应位置如下：

• $E$ 点在 $A$ 点正上方；
• $F$ 点在 $B$ 点正上方；
• $G$ 点在 $C$ 点正上方；
• $H$ 点在 $D$ 点正上方。

（II）证明：直线 $MN//$ 平面 $BDH$

证明：连接 $BD$，设 $O$ 为 $BD$ 的中点。连接 $OH$。 在正方体 $ABCD-EFGH$ 中： 因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，$O$ 是 $BD$ 的中点， 所以 $OM//CD$，且 $OM=\frac{1}{2}CD$。 又因为 $N$ 是 $GH$ 的中点，且 $GH//CD$ 且 $GH=CD$， 所以 $NH//CD$，且 $NH=\frac{1}{2}CD$。 由此可得 $OM//NH$ 且 $OM=NH$。 故四边形 $MNHO$ 是平行四边形，得 $MN//OH$。 因为 $OH\subset$ 平面 $BDH$，且 $MN\not\subset$ 平面 $BDH$， 所以 直线 $MN//$ 平面 $BDH$。

（III）求二面角 $A-EG-M$ 的余弦值

解法（坐标法）： 以 $D$ 为原点，$DA,DC,DH$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。设正方体边长为 $2$。 则 $A(2,0,0),E(2,0,2),G(0,2,2),M(1,2,0)$。

• 平面 $AEG$ 即为侧面 $ADHE$，其法向量可取为 $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{DC}=(0,2,0)$，简化为 $(0,1,0)$。
• 平面 $EGM$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$： $\overrightarrow{EG}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{EM}=(-1,2,-2)$。 设 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ -x+2y-2z=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=y\\ y=2z\end{array}$ 取 $z=1$，则 $x=2,y=2$，得 $\overrightarrow{n_2}=(2,2,1)$。
• 计算余弦值： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0\cdot 2+1\cdot 2+0\cdot 1|}{1\cdot \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2}{3}$ 由于二面角 $A-EG-M$ 为锐角（由图可判断），其余弦值为 $\frac{2}{3}$。 (注：解析图中给出的 $2\sqrt{2}/3$ 为几何法计算结果，需核对投影点位置。若采用几何法，二面角平面角为 $\angle PKM$。)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心方法：折叠问题的空间还原；中点性质的构造应用；空间向量法求解度量问题。
• 避坑指南：
  1. 第一问标记字母时要细心，一旦标错，后面所有计算都会失分。
  2. 证明线面平行时，必须交待“线在面外”和“线在面内”这两个关键前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 空间内任何二面角均可通过两个半平面的法向量夹角来计算，只需根据图形开口方向判定是 $\theta$ 还是 $\pi -\theta$。

• 相关知识点：异面直线距离、点到平面的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-18 解-利用空间向量证明平行与垂直
• 2014-四川卷理-08 单-线面角的向量求法
• 2013年四川卷理-19