2008-四川卷文-12 单-斜棱柱体积向量法

本题导读

底面边长 2 正三角形面积 $\sqrt{3}$；$|v\cdot AC|=|v||AC|\cos 60^{\circ }=2$ 定出$v$ 的横向分量，高 $|w|=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$V=\sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 $60^{\circ }$ 的菱形，则该棱柱的体积为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $3\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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正方形侧面 $\Rightarrow$ 侧棱垂直于该侧面的底边且 $|v|=2$；底面是正三角形；建系后由菱形 $60^{\circ }$ 内角给 $v$ 与 $AC$ 的数量积，解出 $v$ 的纵向分量即棱柱的高.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设三棱柱为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$，令 $v=\overrightarrow{A{A}_1}$．一个侧面为边长 2 的正方形，取其底边为 $AB$，则 $|AB|=|v|=2$，且 $v\perp AB$．另外两个侧面为菱形，所以 $|AC|=|BC|=2$．因而底面三角形 $ABC$ 为边长 2 的正三角形，面积为 $\sqrt{3}$. 在底面内取坐标 $A=(0,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$C=(1,\sqrt{3},0)$，设 $v=(0,u,w)$．由于侧面菱形有一个内角为 $60^{\circ }$，$|v\cdot AC|=|v||AC|\cos 60^{\circ }=2$，所以 $|u|\sqrt{3}=2$，即 $u^2=\frac{4}{3}$．又 $|v{|}^2=4$，得 $w^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$．棱柱的高为 $|w|=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，故体积为 $\sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}$．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：斜棱柱的体积

核心方法：体积 = 底面积 × 高；高是侧棱向量在垂直底面方向的分量

避坑指南：正方形侧面给 $v\perp AB$ 且 $|v|=2$，但 $v$ 不垂直底面——高 $|w|=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 不是 2；直除法易错，向量投影法稳

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：斜棱柱体积，立体几何中档偏难的向量法代表题

结论推广：一般棱柱体积 = 底面积 × 侧棱在法向的投影

方法推广：斜棱柱问题建系后把”侧棱长 + 内角”翻译成向量方程，解分量得高

🔗【关联脉络】

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