2007-江西卷文-11 单-旋转体体积新情境应用

本题导读

本题考查旋转体体积，以及新情境应用。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为 $h_1$，$h_2$，$h_3$，$h_4$，则它们的大小关系正确的是 ()

A. $h_2>h_1>h_4$　　　B. $h_1>h_2>h_3$　　　C. $h_3>h_2>h_4$　　　D. $h_2>h_4>h_1$

🔍【思路分析】

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1. 圆柱（第 4 杯）截面积处处相等，饮一半容积后剩余高度恰为 $h_4=\frac{H}{2}$。
2. 第 1、2 杯上宽下窄，上半部单位高度容积大，饮一半后剩余高度 $>\frac{H}{2}$，故 $h_1>h_4$。
3. 第 2 杯下部更细（锥形），容积更集中上部，达一半容积需更高：$h_2>h_1$。
4. 第 3 杯上部渐收（碗形），结论为 $h_2>h_1>h_4$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设四杯内空高度均为 $H$，高度 $t$ 处水平截面积为 $S(t)$，饮去一半后剩余体积为总容积的一半． 第 4 杯是圆柱，$S(t)$ 处处相等，剩余高度 $h_4=\frac{H}{2}$． 第 1、2 杯截面积随高度增加而增大，上半部单位高度容积大于下半部，故达总容积一半时高度超过 $\frac{H}{2}$，$h_1>\frac{H}{2}=h_4$，$h_2>\frac{H}{2}$． 比较第 1、2 杯：第 2 杯下部更细（锥形收尖），容积相对更集中于上部，取一半容积需达到更高处，故 $h_2>h_1$． 综上 $h_2>h_1>h_4$，选 A． （易错点：第 3 杯上部渐收，直观易误判；抓住”截面积随高度的变化决定剩余高度”即可排序．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体体积新情境应用

核心方法：圆柱 $S(t)$ 处处相等 $h_4=\frac{H}{2}$；上宽下窄者 $h>\frac{H}{2}$，下细者更高

避坑指南：比较剩余高度看”截面积随高度变化”；杯 3 上部渐收，别凭直觉误判

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体体积的新情境应用题，江西卷特色创新题

结论推广：剩余高度由”体积对高度的函数”反解；截面积变化率决定高度排序

方法推广：新情境题抽象出数学量（截面积 $S(t)$）再比较

🔗【关联脉络】

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