2008-四川卷文-16 填-累加法求数列通项

本题导读

$a_n=2+\frac{(n-1)n}{2}+(n-1)=\frac{n^2+n+2}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+n+1$，则通项 $a_n=$　　　.

🔍【思路分析】

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相邻差 $a_{k+1}-a_k=k+1$ 是等差数列，累加后用求和公式.

✅【答案】

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$\frac{n^2+n+2}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由递推式逐项相加，得 $a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(k+1)=2+\frac{n(n-1)}{2}+n-1=\frac{n^2+n+2}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的累加法

核心方法：$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}(k+1)$，和式是首项 2 公差 1 的等差

避坑指南：加到 $k=n-1$ 共 $n-1$ 项：$\frac{(n-1)n}{2}+(n-1)$；通分后 $\frac{n^2+n+2}{2}$，别写成 $\frac{n^2+n-2}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推数列累加求通项，教材习题原型

结论推广：$a_{n+1}=a_n+f(n)$ 且 $\sum f(k)$ 可求 $\Rightarrow$ 累加法

方法推广：累加项数是 $n-1$ 不是 $n$，最后核对 $n=1$

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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