2021-乙卷理-19 解-数列综合

本题导读

本题考查等差数列的证明。核心在于构造等差数列法、递推关系代换法 ($S_n=b_n/b_{n-1}$)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$b_n$ 为数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$．

（1）证明：数列 $\{b_n\}$ 是等差数列；

（2）求 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查数列中基本量之间关系的转化：

• 第（1）问（证明等差数列）：本题的“题眼”在于理解“$b_n$ 为数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项积”。由此可以得到两个关键信息：① 当 $n=1$ 时，$b_1=S_1$；② 当 $n⩾2$ 时，$\frac{b_n}{b_{n-1}}=S_n$。将关系 ② 代入题目给出的递推关系式中，消去 $S_n$，就可以得到关于 $b_n$ 与 $b_{n-1}$ 的关系式，整理后即可证明 $b_n-b_{n-1}$ 为常数。

• 第（2）问（求通项公式）：由（1）求出 $\{b_n\}$ 的通项公式后，代入已知等式中解出 $S_n$ 的表达式。接着，利用数列中极其重要的方法 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n⩾2$) 求出 $a_n$。特别注意：求完后一定要检验 $n=1$ 时的情况，若不满足则需要写成分段函数的形式。

✅【答案】

点击查看答案

数列 $\{b_n\}$ 是以 $b_1=\frac{3}{2}$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公差的等差数列

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：数列 $\{b_n\}$ 是等差数列

由题意知，$b_n$ 是 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项积。

当 $n=1$ 时，$b_1=S_1$。

代入已知等式 $\frac{2}{S_1}+\frac{1}{b_1}=2$ 中，得：

\frac{2}{b_1} + \frac{1}{b_1} = 2$$$$\frac{3}{b_1} = 2

解得：$b_1=\frac{3}{2}$。

当 $n⩾2$ 时，由于 $b_n=S_1\cdot S_2\cdots S_{n-1}\cdot S_n$，且 $b_{n-1}=S_1\cdot S_2\cdots S_{n-1}$，

则有 $S_n=\frac{b_n}{b_{n-1}}$。

将其代入已知等式 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$ 中，消去 $S_n$，可得：

$2\cdot \frac{b_{n-1}}{b_n}+\frac{1}{b_n}=2$

等式两边同乘 $b_n$（由题意知各项均不为 $0$），可得：

$2b_{n-1}+1=2b_n$

整理得：

$b_n-b_{n-1}=\frac{1}{2}(n⩾2)$

这说明数列 $\{b_n\}$ 从第二项起，后一项减去前一项的差为常数 $\frac{1}{2}$。

所以，数列 $\{b_n\}$ 是以 $b_1=\frac{3}{2}$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公差的等差数列。

（2）求 $\{a_n\}$ 的通项公式

由（1）可得数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为：

$b_n=b_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+(n-1)\times \frac{1}{2}=\frac{n+2}{2}$

由原已知等式 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$，可得：

$\frac{2}{S_n}=2-\frac{1}{b_n}=2-\frac{2}{n+2}=\frac{2(n+2)-2}{n+2}=\frac{2n+2}{n+2}$

两边取倒数并整理，可得 $S_n$ 的表达式：

$S_n=\frac{n+2}{n+1}$

由 $S_n$ 求 $a_n$：

当 $n⩾2$ 时，

$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}$

通分计算：

$a_n=\frac{n(n+2)-(n+1{)}^2}{n(n+1)}=\frac{n^2+2n-(n^2+2n+1)}{n(n+1)}=-\frac{1}{n(n+1)}$

当 $n=1$ 时：

由已知 $a_1=S_1=b_1=\frac{3}{2}$。

而将 $n=1$ 代入 $a_n=-\frac{1}{n(n+1)}$ 中，得到的是 $-\frac{1}{2}$。

显然 $a_1\ne -\frac{1}{2}$，即第一项不符合当 $n⩾2$ 时的通项公式规律。

所以，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为分段函数：

$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2},& n=1\\ -\frac{1}{n(n+1)},& n⩾2\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 新定义的翻译能力：题干给的“$b_n$ 为数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项积”是对传统“$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和”的一种概念迁移。处理它的方法与处理 $S_n$ 类似，即利用作商法 $\frac{b_n}{b_{n-1}}=S_n$ ($n⩾2$) 来降次或消元。

2. $a_n$ 与 $S_n$ 的桥梁（重点考查考点）：关系式 $a_n=S_n-S_{n-1}(n⩾2)$ 是高考数列大题的常客。使用这一公式时，必须要检验 $n=1$ 的情况！本题故意设计成 $n=1$ 不满足通项公式，如果忽略了检验，直接写一个式子作为答案，在这一问会被扣除结论分数。

3. 计算细心度：在将 $b_n$ 代回求 $S_n$ 并且利用 $S_n-S_{n-1}$ 通分作差的过程中，符号的变动极易出错。这种题目推荐在考场草稿纸上多写一步括号展开的步骤，确保万无一失。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2005-浙江卷理-20 解-点到抛物线的最短距离
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-四川卷文-16 填-累加法求数列通项