2008-四川卷理-08 单-圆

本题导读

本题考查球的几何性质、球的截面圆半径公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)）设 $M, N$ 是球心 $O$ 的半径 $O P$ 上的两点, 且 $N P = M N = O M$ , 分别过 $N, M, O$ 作垂直于 $O P$ 的平面, 截球面得三个圆, 则这三个圆的面积之比为 ()

A. $3 : 5 : 6$ 　　　　　B. $3 : 6 : 8$ 　　　　　C. $5 : 7 : 9$ 　　　　　D. $5 : 8 : 9$

🔍【思路分析】

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设球半径为 $R$ ，根据线段相等关系确定各平面到球心 $O$ 的距离 $d$ 。

利用球的截面圆半径公式 $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ 分别求出三个截面圆半径的平方。

圆面积之比即为半径平方之比。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$ ，即 $O P = R$ 。因为 $N P = M N = O M$ ，且 $O M + M N + N P = O P = R$ ，所以 $O M = M N = N P = \frac{1}{3} R$ 。过 $N, M, O$ 作垂直于 $O P$ 的平面，各平面到球心的距离 $d$ 分别为：

过 $N$ 的平面： $d_{N} = O N = O M + M N = \frac{2}{3} R$

过 $M$ 的平面： $d_{M} = O M = \frac{1}{3} R$

过 $O$ 的平面： $d_{O} = 0$

设截得的三个圆半径分别为 $r_{N}, r_{M}, r_{O}$ ，根据球的截面性质： $r_{N}^{2} = R^{2} - d_{N}^{2} = R^{2} - (\frac{2}{3} R)^{2} = \frac{5}{9} R^{2}$ $r_{M}^{2} = R^{2} - d_{M}^{2} = R^{2} - (\frac{1}{3} R)^{2} = \frac{8}{9} R^{2}$ $r_{O}^{2} = R^{2} - d_{O}^{2} = R^{2} - 0^{2} = R^{2}$ 由于圆面积 $S = π r^{2}$ ，故面积之比等于半径平方之比： $S_{N} : S_{M} : S_{O} = r_{N}^{2} : r_{M}^{2} : r_{O}^{2} = \frac{5}{9} R^{2} : \frac{8}{9} R^{2} : R^{2} = 5 : 8 : 9$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面圆半径、球心距、球半径构成的直角三角形勾股定理关系。

核心方法：参数化法与比例简化。

避坑指南：注意题干要求的顺序是“分别过 $N, M, O$ ”，因此比例顺序不能颠倒；注意 $N$ 点到球心 $O$ 的距离是 $O M + M N = \frac{2}{3} R$ ，而非 $\frac{1}{3} R$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自立体几何中立体图形的性质章节，是对球的性质、大圆和小圆概念的直接考查。

结论推广：若半径 $O P$ 被分成 $n$ 等份，从靠近球心第 $k$ 个分点作垂直平面的截面面积与大圆面积之比为 $\frac{n ^{2} - k ^{2}}{n ^{2}}$ 。

🔗【关联脉络】

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D

类题演练 (Links)

2009-上海卷文-06 填-球表面积比

2009-上海卷理-08 填-球

2009-四川卷文-09 单-球面距离

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2008-四川卷理-08 单-圆

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