2008-四川卷理-10 单-导数

本题导读

本题考查三角函数的奇偶性、导数的运算与几何意义。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 设 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$，其中 $\omega >0$，则 $f(x)$ 是偶函数的充要条件是 ()

A. $f(0)=1$　　B. $f(0)=0$　　C. $f^{\prime }(0)=1$　　D. $f^{\prime }(0)=0$

🔍【思路分析】

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1. 由 $f(x)$ 为偶函数求出对应的初相 $\phi$ 的解析式。
2. 分别验证选项中条件与偶函数条件的充要对应关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 是偶函数， 所以 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=\omega \cos (\omega x+\phi )$。 若 $f^{\prime }(0)=0$，则 $\omega \cos \phi =0$。 因为 $\omega >0$，所以 $\cos \phi =0$，解得 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。 这与 $f(x)$ 为偶函数的条件完全等价。 而由 $f(0)=\sin \phi =\pm 1$ 可知， $f(0)=1$ 只是充分不必要条件。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 为偶函数的充要条件是图象关于 $y$ 轴对称（即 $y$ 轴处取得最值，且导数为 0）。
2. 核心方法：利用特殊点导数值判定三角函数的对称轴。
3. 避坑指南：误选 A。因为当 $\phi =-\frac{\pi }{2}$ 时， $f(x)=-\cos \omega x$ 也是偶函数，但此时 $f(0)=-1$，故 $f(0)=1$ 不具有必要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材三角函数的性质及导数基本运算公式。
2. 结论推广：函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 在 $x=x_0$ 处取得极值（或为对称轴）的充要条件是 $f^{\prime }(x_0)=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数