2008-大纲卷I文-14 填-抛物线焦点三角形

本题导读

考查抛物线焦点。由焦点 $(0,0)$ 定出 $y=\frac{x^2}{4}-1$，三交点 $(\pm 2,0)$、$(0,-1)$ 构成的三角形面积 $2$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 已知抛物线 $y=a{x}^2-1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由焦点 $(0,0)$ 求 $a$：$x^2=4p(y+1)$ 型，焦点 $(0,-1+p)=O$。
2. 得 $y=\frac{x^2}{4}-1$，求与两坐标轴交点。
3. 计算三角形面积。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y=a{x}^2-1$ 即 $x^2=\frac{y+1}{a}$，开口向上，焦点在 $\left(0,-1+\frac{1}{4a}\right)$. 由焦点为原点 $(0,0)$，得 $-1+\frac{1}{4a}=0$，即 $a=\frac{1}{4}$. 故抛物线为 $y=\frac{x^2}{4}-1$，即 $x^2=4(y+1)$. 与 $x$ 轴的交点：令 $y=0$，$x^2=4$，$x=\pm 2$，得 $(\pm 2,0)$；与 $y$ 轴的交点：令 $x=0$，得 $(0,-1)$. 三个交点构成的三角形底边长 $4$、高 $1$，面积为 $S=\frac{1}{2}\times 4\times 1=2.$ 故答案为 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点与三角形面积

核心方法：焦点为原点 $\Rightarrow a=\frac{1}{4}$，三交点 $(\pm 2,0),(0,-1)$，$S=2$

避坑指南：$y=a{x}^2-1$ 化为 $x^2=\frac{y+1}{a}$，焦点 $\left(0,-1+\frac{1}{4a}\right)$；令焦点为原点解出 $a$；三交点围成三角形底 $4$ 高 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点定位是圆锥曲线基本题，2009 四川文第 13 题、2010 四川文第 3 题同型。

结论推广：$x^2=2py$ 型焦点 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$；平移后 $x^2=4p(y+y_0)$ 焦点 $\left(0,-y_0+\frac{p}{2}\right)$ 类推。

方法推广：先把方程化成标准平移形式读焦点，再求交点算面积；交点直接代入求，不必死套公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距
• 2009-山东卷文-10 单-抛物线焦点
• 2009-湖南卷文-02 单-抛物线焦点
• 2010-四川卷文-03 单-抛物线焦准距