2008-大纲卷I理-16 填-二面角

本题导读

本题是一道涉及多面体组合的空间几何压轴填空题。核心考点是求空间异面直线所成的角，利用已知二面角作为突破口，建立空间直角坐标系进行向量定量计算是最为严谨高效的方法。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 等边三角形 $ABC$ 与正方形 $ABDE$ 有一公共边 $AB$，二面角 $C-AB-D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$M、N$ 分别是 $AC、BC$ 的中点，则 $EM、AN$ 所成角的余弦值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：为了避免中点带来分数，设正方形和等边三角形的边长为 2。以 $AB$ 所在直线为 x 轴，通过二面角确定顶点 $C$ 的空间坐标。
2. 写出空间关键点 $A,B,C,E,M,N$ 的坐标。
3. 求出向量 $\overrightarrow{EM}$ 与 $\overrightarrow{AN}$ 的坐标表示，利用向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{EM}\cdot \overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{EM}|\cdot |\overrightarrow{AN}|}$ 计算出余弦值。

✅【答案】

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$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设等边三角形 $ABC$ 与正方形 $ABDE$ 的边长均为 2。 以 $A$ 为原点， $AB$ 所在直线为 x 轴，在正方形 $ABDE$ 平面内垂直于 $AB$ 的方向为 y 轴，建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 由此可知各点在 xy 平面上的投影关系： $A(0,0,0)$， $B(2,0,0)$， $E(0,2,0)$， $D(2,2,0)$。

取 $AB$ 的中点 $O^{\prime }(1,0,0)$，则 $C{O}^{\prime }\perp AB$。由于 $△ABC$ 为边长为 2 的正三角形，其高 $C{O}^{\prime }=\sqrt{3}$。 二面角 $C-AB-D$ 的大小即为 $C{O}^{\prime }$ 与 y 轴正方向（$\overrightarrow{AE}$ 方向）的夹角 $\alpha$。 已知 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 所以点 $C$ 在 y 轴和 z 轴上的分量分别为： $y_C=C{O}^{\prime }\cdot \cos \alpha =\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=1$ $z_C=C{O}^{\prime }\cdot \sin \alpha =\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{2}$ 由此得到顶点 $C$ 的坐标为 $(1,1,\sqrt{2})$。

因为 $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 的中点，由中点坐标公式可得： $M\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+1}{2},\frac{0+\sqrt{2}}{2}\right)\Rightarrow M\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $N\left(\frac{2+1}{2},\frac{0+1}{2},\frac{0+\sqrt{2}}{2}\right)\Rightarrow N\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 进而求出异面直线对应的方向向量： $\overrightarrow{EM}=\left(\frac{1}{2}-0,\frac{1}{2}-2,\frac{\sqrt{2}}{2}-0\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\overrightarrow{AN}=\left(\frac{3}{2}-0,\frac{1}{2}-0,\frac{\sqrt{2}}{2}-0\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 计算向量的模长与数量积： $|\overrightarrow{EM}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{3}$ $|\overrightarrow{AN}|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{3}$ $\overrightarrow{EM}\cdot \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)\times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 设 $EM$ 与 $AN$ 所成的角为 $\theta$，其波段余弦值为： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{EM}\cdot \overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{EM}|\cdot |\overrightarrow{AN}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{1}{6}$ 故答案为 $\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：翻折与多面体组合结构中的坐标建模、二面角的射影分量、异面直线夹角的向量公式。
2. 核心方法：空间直角坐标系法。通过构建两两垂直的基底，将抽象的空间位置关系完全转化为代数分量计算。
3. 避坑指南：在计算点 $C$ 的坐标时，切忌直接将二面角的余弦值当成 z 轴的投影坐标，必须通过过棱的垂线进行解直角三角形转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自近代解析几何中多面体非正交组合体度量性质研究的经典压轴填空题。
2. 结论推广：对于共享边 $AB$ 的正多边形与正多角形，若二面角为 $\varphi$，其上任意两线段的空间夹角均可通过将其投影到该共享边及垂直面内进行一元化向量表述。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形