2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形

本题导读

考查向量与解三角形。（1）$\mathbf{m}\parallel \mathbf{n}\Rightarrow a\sin A=b\sin B\Rightarrow a=b$；（2）$\mathbf{m}\perp \mathbf{p}\Rightarrow ab=a+b$，与 $c^2=a^2+b^2-ab=4$ 联立得 $ab=4$，$S=\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知 $△ABC$ 的角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别是 $a$、$b$、$c$，设向量 $\mathbf{m}=(a,b)$，$\mathbf{n}=(\sin B,\sin A)$，$\mathbf{p}=(b-2,a-2)$.

(1)若 $\mathbf{m}\parallel \mathbf{n}$，求证：$△ABC$ 为等腰三角形；

(2)若 $\mathbf{m}\perp \mathbf{p}$，边长 $c=2$，角 $C=\frac{\pi }{3}$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）平行：$a\sin A-b\sin B=0$。正弦定理 $\sin A=\frac{a}{2R}$：$\frac{a^2}{2R}=\frac{b^2}{2R}\Rightarrow a=b$。
2. （2）垂直：$a(b-2)+b(a-2)=0\Rightarrow ab=a+b$。
3. 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4$，即 $(a+b{)}^2-3ab=4$。
4. 设 $t=ab$：$t^2-3t-4=0\Rightarrow t=4$（负根舍）。$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2)$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\mathbf{m}\parallel \mathbf{n}$：$a\sin A-b\sin B=0$，即 $a\sin A=b\sin B$。 设 $R$ 为外接圆半径，由正弦定理 $\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，代入得 $\frac{a^2}{2R}=\frac{b^2}{2R}$，所以 $a^2=b^2$，$a=b$。 故 $△ABC$ 为等腰三角形。 （2）由 $\mathbf{m}\perp \mathbf{p}$：$a(b-2)+b(a-2)=0$，即 $2ab=2a+2b$，$ab=a+b$。 由余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，代入 $c=2$，$C=\frac{\pi }{3}$： $4=a^2+b^2-ab=(a+b{)}^2-3ab=(ab{)}^2-3ab$。 设 $t=ab$：$t^2-3t-4=0$，解得 $t=4$ 或 $t=-1$（舍去），故 $ab=4$。 三角形面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量平行垂直与解三角形

核心方法：平行边化角证等腰 + 垂直整式联立余弦定理

避坑指南：（2）的 $ab=a+b$ 与 $(a+b{)}^2-3ab=4$ 联立得到 $t^2-3t-4=0$，负根 $-1$ 必须舍；$S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 用 $C=\frac{\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量条件 + 正余弦定理是文数解答题中坚。

结论推广：$\mathbf{m}\parallel \mathbf{n}$：$a\sin A-b\sin B=0$，正弦定理转边。

方法推广：设 $t=ab$ 把整体方程化为一元二次，是处理 $a+b$ 与 $ab$ 组合的标准手法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-15 解-三角恒等变换与解三角形
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角