2008-大纲卷II文-07 单-切线平行定参

本题导读

考查导数几何意义。$y=a{x}^2$ 在 $(1,a)$ 处切线斜率 $2a$，与斜率 $2$ 的直线平行得 $2a=2$，$a=1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 设曲线 $y=a{x}^2$ 在点 $(1,a)$ 处的切线与直线 $2x-y-6=0$ 平行，则 $a=$()

A. $1$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导 $y^{\prime }=2ax$。
2. $x=1$ 处切线斜率 $k=2a$。
3. 直线 $2x-y-6=0$ 的斜率为 $2$，平行则 $2a=2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=2ax$，曲线在点 $(1,a)$ 处的切线斜率为 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=2a.$ 直线 $2x-y-6=0$ 即 $y=2x-6$，斜率为 $2$. 由两直线平行，得 $2a=2$，即 $a=1$. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数几何意义与两直线平行

核心方法：$y^{\prime }=2ax$，$k=2a=2$，$a=1$

避坑指南：平行 $⟺$ 斜率相等（截距不等）；$y=a{x}^2$ 求导得 $2ax$，在 $x=1$ 处斜率 $2a$；注意点 $(1,a)$ 在曲线上是自洽的（$y(1)=a$），代入即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“切线斜率定参”是导数几何意义基础题，2009 新课标Ⅰ文第 13 题、2009 江苏卷第 9 题同型。

结论推广：$k_{切}=f^{\prime }(x_0)$；两直线平行 $⟺k_1=k_2$ 且不重合。

方法推广：求导 $\to$ 代横坐标 $\to$ 列平行等式；确认所给点确在曲线上，避免用”设切点”的多余步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2010-大纲卷I文-11 单-切线数量积最值