2010-大纲卷I文-11 单-切线数量积最值

本题导读

考查切线与数量积最值。$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=r^2+\frac{2}{r^2}-3⩾2\sqrt{2}-3$，$r^2=\sqrt{2}$ 取到，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知圆 $O$ 的半径为 $1$，$PA$，$PB$ 为该圆的两条切线，$A$，$B$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值为()

A. $-4+\sqrt{2}$　　　　　B. $-3+\sqrt{2}$　　　　　C. $-4+2\sqrt{2}$　　　　　D. $-3+2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $OP=r>1$，切线长 $PA=PB=\sqrt{r^2-1}$，$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{r}$。
2. $\cos \theta =1-\frac{2}{r^2}$。
3. $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(r^2-1)\left(1-\frac{2}{r^2}\right)=r^2+\frac{2}{r^2}-3$。
4. $⩾2\sqrt{2}-3$，当 $r^2=\sqrt{2}$ 取等。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $OP=r>1$，切线长 $PA=PB=\sqrt{r^2-1}$。设 $\theta =\angle APB$， 由 $OP$ 平分两切线夹角，$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{r}$，故 $\cos \theta =1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}=1-\frac{2}{r^2}.$ 于是 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(r^2-1)\left(1-\frac{2}{r^2}\right)=r^2+\frac{2}{r^2}-3.$ 令 $s=r^2>1$，由基本不等式 $s+\frac{2}{s}⩾2\sqrt{2}$，当 $s=\sqrt{2}$ 时取等， 所以最小值为 $2\sqrt{2}-3=-3+2\sqrt{2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线性质与数量积最值

核心方法：设 $OP=r$ 把切线长与夹角都表示为 $r$ 的函数

避坑指南：$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{OA}{OP}=\frac{1}{r}$（直角三角形 $OAP$ 中），不是 $\frac{r}{1}$；数量积为负值，“最小值”指代数值最小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线长公式 $PA=\sqrt{r^2-1}$（勾股定理，$OA\perp PA$）。

结论推广：单变量化后 $s+\frac{2}{s}⩾2\sqrt{2}$，基本不等式取等 $s=\sqrt{2}>1$ 合法。

方法推广：最值题设单变量是通法：$r$、$\theta$、$PA$ 任择其一，选 $r$ 计算最简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2012-上海卷文-12 填-向量数量积取值范围
• 2009-福建卷文-12 单-向量数量积与面积