2008-大纲卷II文-09 单-二项式化简求系数

本题导读

考查二项式定理。先用平方差合成 $(1-x{)}^4$，通项取 $k=1$ 得 $x$ 的系数 $-4$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） $(1-\sqrt{x}{)}^4(1+\sqrt{x}{)}^4$ 的展开式中 $x$ 的系数是()

A. $-4$　　　　　　　B. $-3$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. $(1-\sqrt{x}{)}^4(1+\sqrt{x}{)}^4={\left[(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})\right]}^4=(1-x{)}^4$。
2. 写通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k(-x{)}^k$。
3. 令 $k=1$，系数为 ${\mathrm{C}}_4^1\times (-1)=-4$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由平方差公式， $(1-\sqrt{x}{)}^4(1+\sqrt{x}{)}^4={\left[(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})\right]}^4=(1-x{)}^4.$ 其通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k(-x{)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_4^k{x}^k.$ 令 $k=1$，得 $x$ 的系数为 $(-1)\times {\mathrm{C}}_4^1=-4.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理之积式化简

核心方法：$(1-\sqrt{x}{)}^4(1+\sqrt{x}{)}^4=(1-x{)}^4$，$k=1$ 系数 $-{\mathrm{C}}_4^1=-4$

避坑指南：同次幂的 $(a-b{)}^n(a+b{)}^n$ 先合并为 $(a^2-b^2{)}^n$ 再展开，比逐个展开快得多；$(1-x{)}^4$ 的 $x$ 项系数是负的，符号别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：积式二项式是二项式定理的巧型，2009 大纲Ⅱ文第 14 题、2010 大纲Ⅱ文第 14 题同型。

结论推广：$(a-b{)}^n(a+b{)}^n=(a^2-b^2{)}^n$；$T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k(-1{)}^k{x}^k$。

方法推广：见到同指数的两个二项式相乘，先平方差合并；求”某次幂系数”时注意 $(-1{)}^k$ 的符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-14 填-二项展开式系数
• 2010-大纲卷II文-14 填-二项式系数
• 2009-大纲卷I文-13 填-二项式系数
• 2010-四川卷文-13 填-二项式常数项