2008-大纲卷II理-19 解-二面角

本题导读

本题考查空间位置关系的证明与二面角的计算。核心方法是通过几何体的正交垂直特性建立空间直角坐标系，将线线垂直转化为向量数量积为 0，并将二面角大小转化为平面法向量的夹角求解。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形， $SD\perp$ 平面 $ABCD$， $SD=AD=a$， $E$ 是 $SD$ 上的点，且 $DE=\lambda a(0<\lambda \le 1)$.

(1) 求证： $AC\perp BE$；

(2) 若二面角 $C-AE-D$ 的大小为 $60^{\circ }$，求 $\lambda$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：由于 $SD\perp$ 平面 $ABCD$，且底面 $ABCD$ 为正方形，易知 $DA,DC,DS$ 两两垂直。以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系，写出各相关点坐标，计算向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BE}$ 的数量积，若为 0 则结论成立。
2. 第(2)问：平面 $DAE$ 即为平面 $SDA$，其次级法向量可直接沿 $y$ 轴方向选取。再求出平面 $CAE$ 的法向量，利用两个法向量夹角的余弦值公式，结合已知二面角为 $60^{\circ }$ 构建关于 $\lambda$ 的方程求解。

✅【答案】

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二面角的大小为arctan(5√5).

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：因为 $SD\perp$ 平面 $ABCD$， $ABCD$ 为正方形， 所以 $DA,DC,DS$ 两两互相垂直。 以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,DS$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 依题意，各点坐标为： $D(0,0,0)$， $A(a,0,0)$， $C(0,a,0)$， $B(a,a,0)$。 因为 $DE=\lambda a$，点 $E$ 在 $z$ 轴上，所以 $E(0,0,\lambda a)$。 由此可得： $\overrightarrow{AC}=(0-a,a-0,0-0)=(-a,a,0)$ $\overrightarrow{BE}=(0-a,0-a,\lambda a-0)=(-a,-a,\lambda a)$ 计算两个向量的数量积： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=(-a)\times (-a)+a\times (-a)+0\times \lambda a=a^2-a^2+0=0$ 因为 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=0$，所以 $AC\perp BE$。

(2) 由题意，平面 $DAE$ 即为 $xDz$ 平面，其一个法向量可取为 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。 设平面 $CAE$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$。 已知 $\overrightarrow{AC}=(-a,a,0)$， $\overrightarrow{AE}=(0-a,0-0,\lambda a-0)=(-a,0,\lambda a)$。 由 ${\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 且 ${\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=0$ 得： $\{\begin{array}{l}-ax+ay=0\\ -ax+\lambda az=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=y\\ x=\lambda z\end{array}$ 令 $z=1$，则 $x=\lambda ,y=\lambda$，得到平面 $CAE$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(\lambda ,\lambda ,1)$。 因为二面角 $C-AE-D$ 的大小为 $60^{\circ }$，所以： $\cos 60^{\circ }=\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}$ 代入分量坐标计算： $\frac{1}{2}=\frac{|0\times \lambda +1\times \lambda +0\times 1|}{1\times \sqrt{{\lambda }^2+{\lambda }^2+1}}=\frac{\lambda }{\sqrt{2{\lambda }^2+1}}$ 由于 $0<\lambda \le 1$，两边平方得： $\frac{1}{4}=\frac{{\lambda }^2}{2{\lambda }^2+1}\Rightarrow 2{\lambda }^2+1=4{\lambda }^2\Rightarrow 2{\lambda }^2=1\Rightarrow {\lambda }^2=\frac{1}{2}$ 因为 $\lambda >0$，解得 $\lambda =\frac{\sqrt{2}}{2}$。 经检验， $\lambda =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 满足 $0<\lambda \le 1$，符合题意。 所以 $\lambda$ 的值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直转化为线线垂直、空间法向量的建立、二面角公式。
2. 核心方法：坐标建模法。利用图形本身的直角特性直接建立空间直角坐标系以简化解析过程。
3. 避坑指南：第(2)问求得平面 $CAE$ 的法向量后，在应用夹角公式时需注意 $\lambda$ 范围的检验；同时，选取坐标原点时应优先考虑具有三条两两垂直棱的顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中利用正交基底分解向量与求二面角平面角的标准空间直角坐标应用题。
2. 结论推广：在底面为矩形且侧棱垂直于底面的四棱锥中，由该侧棱发出的所有截面与侧面的二面角性质，都可以通过建立以该交点为原点的坐标系进行统一分量化解析。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-15 填-二面角线面角
• 2010-安徽卷文-19 解-空间向量线面关系与体积
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角