2008-天津卷文-12 填-二项式特定项系数

本题导读

考查二项式特定项系数。通项 $x^{5-2k}$，$k=1$ 时系数 ${\mathrm{C}}_5^1\times 2=10$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^5$ 的二项展开式中 $x^3$ 的系数为$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k{x}^{5-k}{\left(\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k{2}^k{x}^{5-2k}$。
2. 令 $5-2k=3$，得 $k=1$。
3. 系数 $={\mathrm{C}}_5^1\cdot 2^1=10$。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k{x}^{5-k}{\left(\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k\cdot 2^k\cdot x^{5-2k}.$ 令 $5-2k=3$，得 $k=1$. 所以 $x^3$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_5^1\cdot 2^1=5\times 2=10.$ 故答案为 $10$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式特定项系数

核心方法：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k{2}^k{x}^{5-2k}$，$k=1$，系数 $10$

避坑指南：通项中 $x$ 的指数 $5-2k$ 由两个因子的指数共同决定；令指数等于目标值解 $k$；系数含 $2^k$ 别只写组合数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：${\left(x+\frac{a}{x}\right)}^n$ 型特定项是二项式标准题，2009 四川文第 14 题、2010 四川文第 13 题同型。

结论推广：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{x}^{n-k}{\left(\frac{a}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_n^k{a}^k{x}^{n-2k}$。

方法推广：“系数”与”二项式系数”不同：本题系数为 ${\mathrm{C}}_5^1\cdot 2=10$，二项式系数只是 ${\mathrm{C}}_5^1=5$；题目要求”用数字作答”，写 $10$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2010-四川卷文-13 填-二项式常数项
• 2009-大纲卷II文-14 填-二项展开式系数
• 2010-江西卷文-03 单-二项式特定项系数