2008-天津卷理-06 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法、集合的并集运算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 设集合 $S=\{x||x-2|>3\}$, $T=\{x|a<x<a+8\}$, $S\cup T=\mathbf{R}$, 则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $-3<a<-1$　　　　　　　　　　　　　　B. $-3⩽a⩽-1$

C. $a⩽-3$ 或 $a⩾-1$　　　　　　　　　　　　　D. $a<-3$ 或 $a>-1$

🔍【思路分析】

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1. 解绝对值不等式化简集合 $S$，并求出其在实数集中的补集 $S^{\complement }$。
2. 由 $S\cup T=\mathbf{R}$ 可知 $S^{\complement }\subseteq T$，利用数轴法列出关于 $a$ 的不等式组求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解不等式 $|x-2|>3$ 得： $x-2>3\text{ 或 }x-2<-3⟹x>5\text{ 或 }x<-1$ 所以 $S=(-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )$。 因为 $S\cup T=\mathbf{R}$，所以集合 $S$ 的补集 $S^{\complement }=[-1,5]$ 必须是集合 $T$ 的子集，即 $S^{\complement }\subseteq T$。 又 $T=(a,a+8)$，在数轴上表示两集合的包含关系，需满足： $\{\begin{array}{l}a<-1\\ a+8>5\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a<-1\\ a>-3\end{array}⟹-3<a<-1$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的交并补运算；含参区间包含关系的临界条件判定。
2. 核心方法：数形结合法，通过数轴直观展现区间的重叠与包含。
3. 避坑指南：临界点处是否带等号是此类题目的易错点。因为 $T$ 是开区间，而 $S^{\complement }$ 是闭区间，若 $a=-1$，则 $T$ 无法包含 $-1$，故此处必须为严格不等号，不能带等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中集合基本运算与一元二次、绝对值不等式的交汇综合题。
2. 结论推广：若 $A\cup B=\mathbf{R}$，则 $A^{\complement }\subseteq B$；若 $A\cap B=\varnothing$，则 $A\subseteq B^{\complement }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-13 填-集合交集与不等式
• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参