2008-天津卷理-15 填-数列

本题导读

本题考查累加法求数列通项、无穷等比级数求和，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3^{n+1}}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据递推式 $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3^{n+1}}$，利用累加法将通项 $a_n$ 表示为一阶差分和的形式。
2. 利用等比数列求和公式对求和项进行化简。
3. 对所得通项公式取 $n\to \infty$ 的极限，或者直接转化为无穷等比级数求和。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{7}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由已知递推式，当 $n⩾2$ 时，采用累加法： $a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$ $a_n=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{3^n}$ 括号中是以 $\frac{1}{9}$ 为首项，$\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列的前 $n-1$ 项和。 则当 $n\to \infty$ 时： ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=1+{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{3^{k+1}}=1+\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=1+\frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$

故答案为：$\frac{7}{6}$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：形如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 的累加递推模型；无穷等比级数和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}(|q|<1)$。
2. 核心方法：一阶差分逐项累加法。
3. 避坑指南：累加时的项数和首项极易数错。差分序列的第一项是 $a_2-a_1=\frac{1}{3^2}$，对应等比数列的首项是 $\frac{1}{9}$ 而非 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中数列通项求法（累加法）与极限理论初步的有机结合。
2. 结论推广：对于递推式 $a_{n+1}-a_n=A\cdot q^n(|q|<1)$，其极限值为 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a_1+\frac{A\cdot q}{1-q}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和