2008-天津卷理-16 填-对数

本题导读

本题考查对数的运算性质、函数的值域与定义域映射，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 设 $a>1$，若仅有一个常数 $c$ 使得对于任意的 $x\in [a,2a]$，都有 $y\in [a,a^2]$ 满足方程 ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y=c$，这时，$a$ 的取值值的集合为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对数性质将方程化简为 $xy=a^c⟹y=\frac{a^c}{x}$。
2. 翻译量词条件：“对任意 $x\in [a,2a]$，都有 $y\in [a,a^2]$ 满足方程”，等价于反比例函数 $y=\frac{a^c}{x}$ 在 $x\in [a,2a]$ 上的值域必须是 $[a,a^2]$ 的子集。
3. 求出该函数在对应区间上的值域，列出区间包含的不等式组。
4. 利用“仅有一个常数 $c$”这一唯一性判据，推导出不等式组的边界必须重合，从而求出 $a$ 的精确值。

✅【答案】

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$\{2\}$

✍【详细解析】

Abstract

由方程 ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y=c$ 可得： ${\log }_a(xy)=c⟹xy=a^c⟹y=\frac{a^c}{x}$ 因为 $a>1$，所以当 $x\in [a,2a]$ 时，函数 $y=\frac{a^c}{x}$ 严格单调递减。 故当 $x\in [a,2a]$ 时，$y$ 的取值范围（值域）为： $\left[\frac{a^c}{2a},\frac{a^c}{a}\right]$ 根据题意，对于该区间内的任意 $x$，对应的 $y$ 均在 $[a,a^2]$ 内， 这意味着该值域区间必须被 $[a,a^2]$ 完整包含，即： $\left[\frac{a^c}{2a},\frac{a^c}{a}\right]\subseteq [a,a^2]$ 转化为不等式组： $\{\begin{array}{l}\frac{a^c}{2a}⩾a\\ \frac{a^c}{a}⩽a^2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}^c⩾2a^2\\ a^c⩽a^3\end{array}⟹2a^2⩽a^c⩽a^3$ 题目指出“仅有一个常数 $c$ 满足要求”，由于 $a>1$， $a^c$ 与 $c$ 是一一对应的。 要使夹逼区间 $[2a^2,a^3]$ 中仅有一个合法的实数值，该区间必须退化为一个孤立点（即区间的左端点等于右端点）。 因此： $2a^2=a^3$ 因为 $a>1⟹a^2\ne 0$，两边同除以 $a^2$ 得： $a=2$ 此时当 $a=2$ 时，$2a^2=a^3=8⟹2^c=8⟹c=3$，常数 $c$ 确实唯一。 所以 $a$ 的取值值的集合为 $\{2\}$。

故答案为：$\{2\}$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：对数恒等式；函数单调性与值域；集合蕴含关系的代数边界问题。
2. 核心方法：区间包含法；唯一性转化为边界重合性质。
3. 避坑指南：容易卡在“仅有一个常数 $c$”的理解上。必须明白，若 $2a^2<a^3$，则中间有无数个实数可供 $a^c$ 选择，从而会有无数个 $c$，只有当两端点相等时，解才唯一。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有高等数学中“映射与函数、全称与存在量词逻辑”的深刻背景，是一道极具思维深度的函数综合创新题。
2. 结论推广：对于任意区间映射问题，若要求某参数所控制的动态值域含于定区间且控制参数唯一，通常对应着动态区间的临界收缩。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2010-四川卷文-02 单-对数函数图象
• 2010-大纲卷II文-04 单-对数反函数