2010-四川卷文-02 单-对数函数图象

本题导读

考查对数函数图象。$y={\log }_{2}x$ 定义域 $(0,+\infty )$，底数 $2>1$ 故递增，且过 $(1,0)$，与选项 C 吻合，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 函数 $y={\log }_{2}x$ 的图象大致是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义域 $x>0$：图象只位于 $y$ 轴右侧，可排除画到左侧的指数型图象。
2. 底数 $2>1$：函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。
3. ${\log }_{2}1=0$：图象过点 $(1,0)$，在 $x$ 轴上的截距为 1。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y={\log }_{2}x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，图象位于 $y$ 轴右侧；底数 $2>1$，函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；又 ${\log }_{2}1=0$，图象经过点 $(1,0)$，且当 $x\to 0^{+}$ 时 $y\to -\infty$. A、B 的图象过 $(0,1)$ 且横跨 $y$ 轴两侧，是指数型函数的图象，排除； D 的图象在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，排除； C 的图象单调递增且过 $(1,0)$，符合. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的图象识别

核心方法：定义域 $(0,+\infty )$、底数 $2>1$ 递增、过 $(1,0)$，三特征锁定 C

避坑指南：对数函数图象只在 $y$ 轴右侧，A、B 这类过 $(0,1)$、横跨两侧的是指数型图象；递增还是递减看底数与 1 的大小；$x\to 0^{+}$ 时 $y\to -\infty$ 是渐近行为的判断依据。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂指对函数图象识别是函数小题的基本功，各地卷反复出现，常与平移变换结合。

结论推广：$y={\log }_{a}x$：$a>1$ 增、$0<a<1$ 减，恒过 $(1,0)$；$y=a^x$ 恒过 $(0,1)$。

方法推广：图象选择题按”定义域—单调性—特殊点”三步过滤，通常两步即可排除全部错项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-04 单-对数图象平移
• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2011-安徽卷文-05 单-对数图象上的点
• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别