2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法

本题导读

考查反函数。原函数 $y⩾0$ 是反函数的定义域；由 $y=\sqrt{-x}$ 解出 $x=-y^2$，再交换记号。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 函数 $y=\sqrt{-x}$（$x⩽0$）的反函数是 ()

A. $y=x^2$（$x⩾0$）　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=-x^2$（$x⩾0$）

C. $y=x^2$（$x⩽0$）　　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=-x^2$（$x⩽0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原函数值域 $y⩾0$，即反函数定义域为 $x⩾0$，排除 C、D。
2. 由 $y=\sqrt{-x}$ 得 $x=-y^2$，交换 $x$、$y$ 得 $y=-x^2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

原函数 $y=\sqrt{-x}$（$x⩽0$）的值域为 $[0,+\infty )$，故反函数的定义域为 $x⩾0$，排除 C、D。 由 $y=\sqrt{-x}$ 解得 $x=-y^2$（$y⩾0$），交换 $x$、$y$ 得反函数 $y=-x^2(x⩾0),$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法与定义域

核心方法：值域变定义域 + 解出 $x$ 再换记号

避坑指南：反函数的定义域是原函数的值域 $[0,+\infty )$，只写 $y=-x^2$ 而不写 $x⩾0$ 是最常见的丢分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数是幂指对函数板块的基础概念题。

结论推广：求反函数三步：定值域 → 解 $x$ → 交换 $x$、$y$。

方法推广：开偶次方要按原函数值域定符号，本题 $y⩾0$ 取正根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-02 单-反函数
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数
• 2013-大纲卷文-06 单-反函数