2008-安徽卷文-07 单-二项式系数奇偶

本题导读

本题求 $(1+x{)}^8$ 展开式系数 $a_0,a_1,\cdots ,a_8$ 中奇数的个数：系数即 ${\mathrm{C}}_8^k$，逐一列举判断奇偶。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 设 $(1+x{)}^8=a_0+a_{1}x+\cdots +a_8{x}^8$，则 $a_0$，$a_1$，$\cdots$，$a_8$ 中奇数的个数为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 由二项式定理，$a_k={\mathrm{C}}_8^k$。
2. 列举 ${\mathrm{C}}_8^0$ 到 ${\mathrm{C}}_8^8$，数出奇数的个数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$a_k={\mathrm{C}}_8^k$（$k=0,1,\cdots ,8$）。 各系数依次为 $1,8,28,56,70,56,28,8,1$。 其中奇数只有首尾的 $a_0=a_8=1$ 两个，其余均为偶数。 所以奇数的个数为 $2$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数的奇偶性

核心方法：系数即 ${\mathrm{C}}_8^k$，逐一列举

避坑指南：$(1+x{)}^8$ 的系数 $1,8,28,56,70,56,28,8,1$ 中只有首尾 $1$ 是奇数；$70$ 容易误记成奇数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 重庆文第 3 题、2010 大纲Ⅰ文第 5 题同考二项式系数。

结论推广：$(1+x{)}^n$ 的系数就是组合数 ${\mathrm{C}}_n^k$。

方法推广：系数的奇偶性可借助杨辉三角的对称性观察，两端全为 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-03 单-二项式系数
• 2010-大纲卷I文-05 单-二项式系数
• 2013-上海卷文-07 填-二项式系数
• 2009-湖北卷文-11 填-二项式系数