2009-重庆卷文-03 单-二项式系数

本题导读

考查二项展开式系数。${\mathrm{C}}_6^3\times 2^3=20\times 8=160$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） $(x+2{)}^6$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是 ()

A. $20$　　　　　　B. $40$　　　　　　C. $80$　　　　　　D. $160$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 含 $x^3$ 的项：从 $6$ 个因子中取 $3$ 个 $x$、其余取 $2$。
2. 系数为 ${\mathrm{C}}_6^3\times 2^3=20\times 8=160$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

在二项式 $(x+2{)}^6$ 中，含 $x^3$ 的项是从 $6$ 个因子中取出三个 $x$， 从其余三个因子中取出三个 $2$ 所得到的项，其系数为 ${\mathrm{C}}_6^3\times 2^3=20\times 8=160.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式的特定项系数

核心方法：${\mathrm{C}}_6^3{x}^3\cdot 2^3$，组合数与幂分别算

避坑指南：系数 $={\mathrm{C}}_6^3\times 2^3=20\times 8=160$；只算 ${\mathrm{C}}_6^3=20$ 会误选 A，漏乘 $2^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$(x+a{)}^n$ 中含 $x^k$ 的项：${\mathrm{C}}_n^k{x}^k{a}^{n-k}$，$a$ 的幂次是 $n-k$。

结论推广：验算：$160$ 恰为选项 D；系数比 ${\mathrm{C}}_6^3$ 大的选项必有 $2$ 的幂因子。

方法推广：组合数 ${\mathrm{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ 要熟练。

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